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Does Arbitrage flatten demand curves for stocks? 1

delphinee 2023. 9. 23. 13:29

그래, 마음 속에는 arbitrage가 일단 존재한다고 믿어야 하는 거지?

 

이 논문에서는, 완전 대체재 (perfect substitute)가 있다면, 결국 차익 거래 기회(arbitrage)에 의해서 수요 곡선 (demand curve)이 평평 (flat)해질 것이라는 기존의 ”이론”에 대해 반문을 던진다. 그렇지 않은 이유와 원인에 대해서 arbitrage limit 이 있기 때문이라고 하는데, 그 measure로써 arbitrague risk 를 이용해서 설명을 한다.

 

 

Does Arbitrage flatten demand curves for stocks? (2014)
저자 : Jeffrey Wurgler, Zhuravskaya
저널 : JFE

 

 

(기존의 Aribitrage 이론) Sholes의 arbitrage 이론은 금융 이론에서 가장 근본적이라고 할 수 있다.

  • Myron shcoles 의 주장에 의하면, 자산의 기대 수익률이 유사하면서 + 비슷한 위험(risk)을 가진 자산이라면, 결국 가격은 동일하게 매겨질 것이어야 한다. 만약 특정 자산이 qunatity 증가로 인해 기대 수익률에 높아진다면, 이익 기회를 노리는 투자자들이 빠르게 이를 차익거래(arbitrage)를 통해서 이러한 이익을 노릴 기회를 결국 없앨 것이라고 본다.
    • 즉, 합리적인 투자자는 “가격이 낮게 형성된” 주식 (underpriced)을 사고, 완벽한 대체재라고 할 수 있는 것은 공매도를 해서 이익을 본다는 것이다.
    • 이러한 차익 거래 (arbitrage) 기회가 없다는 것은, APT 이론, CAPM 이론, Net present value rules, MM(Modigliani-Milller 정리)로 이어지기도 한다.(근본....)
  •  

 

(메커니즘) 숄즈가 생각하는 세상 (그것은 바로 효율적 시장 (efficient market))에서의 arbitrageur들은 경쟁을 통해서 개별 주식의 수요 곡선을 평평하게 유지시킬 것이고, 그 결과로 주식 가격은, 실제로 그들이 가진 “기본 가치 (fundamental value)”와 관련이 없는 수요 및 공급 변동으로부터 벗어나게 하지 않게 할 것이다.

 

 

(Research Question) 실제로 이러한 메커니즘이 잘 작동한다고 생각하는 것이 합리적일까?

몇 가지 경험적 근거를 제시해보면, 주식 간 차액거래는 투자 전문가들에 의해 많이 이용되는 전략이다. 다만, 이런 전략이 현실에서는 잘 작동하지 않는다는 것이다. (작동했다면 이미 모두 부자였겠지 !)

  • ** Barr Rosenberg, D. E. Shaw 와 Long-Term Capital (Spiro 1998)은 잘 알려진 예시이며, 여러 헤지 펀드들이 "paris trading’또는 "relative value trading" 또는 "시장 중립적 long/short trading"등을 주요 equity 투자 전략으로 활용
  • 다만, 이런 전략이 효과적으로 작동하지는 이유로
    • 가장 큰 문제는, 실제로 개별 주식이 완벽한 대체재 (상품)를 가지고 있지 않다는 점
    • 이 말은 (1) mispriced 주식에 “포지션”을 취하고 (2) imperfect substitues에 “반대 포지션”을 취해서 헷지하는 arbitrage는, 완전하지 않음으로써 나타날 "arbitrage risk" (두 가지 수익 flow가 상쇄되지 않을 위험)를 감수해야 한다.

 

주식의 수요 곡선이 평평하게 유지되는 주장이 맞는지 다시 질문을 던질 수 있다. (1) 이 논문에서는 차익거래 (arbitrage)의 이론적인 근거를 살펴보고, (2) 나아가 그 한계 (limit)를 보여주는 주식의 수요 곡선에 대한 간단한 모형을 살펴본다. (3) 그런 다음 Standard and Poor's 500 지수에 추가된 주식의 반응을 cross section 으로 분석해서 검증을 하는 식으로 전개를 한다.

 

 

우선, 이번에는 이러한 아이디어를 어떻게 머리 속에서 세계를 만들고, 모형화 시키는 지를 이론적으로 살펴본다. (즉, 여기선 arbitrage가 있다고 보는 입장이고, 그 기반으로 어떤 합의점을 찾아나간다는 것을 생각해야 한다.)

 

 

 

[모형화]

  • 이 모형은 두 가지 투자자 그룹 (arbitrageurs vs nonarbitrageurs)으로 나눈다.
    • 차익거래자란?
      • zero net investment portfolio를 가짐 (자본 투자 없음)
      • 주식의 long-run 기본 가치 (fundamental value)에 대해서 올바른 belief를 가짐
      • 불완전한 대체재 (imperfect substitutes) 간의 arbitrage risk를 회피하는 경향이 있다고 가정

 

  • 기본 차익거래 이론에서는, 수요 곡선이 평평할 것이라 본다.
    • ** 수요 곡선의 경우, 차익거래자나 차익거래자가 아닌 자들의 수요를 종합해서 (horizontally sum) 총 수요 곡선을 얻게 된다. 이때 곡선의 기울기는 4가지 요인에 따라서 방향이 결정
      • (1) 주식이 더 가까운 대체 관계를 가질 때, 수요 곡선이 평평해짐 (flatten) ⇒ 적은 arbitrage risk
      • (2) 차익거래자 (arbitrageur)의 리스크 회피 성향이 낮을 때
      • (3) 비-차익거래자 (non-arbitrageur)의 믿음에 대한 다양성이 더 낮을 때
      • (4) 차익거래자의 수가 많아지면 질수록 더 평평해 진다.
    • 실제로 위의 사항이 극단적이어질 때 수요곡선은 평평해진다고 보면 된다.

 

 

 

(1. arbitrageur 의 수요 곡선)

  • 가정 (Assumption)
    • 시장에서 n개의 위험 자산을 고려하며, 이 자산들은 t=0에 구매되고 t=1에 판매
    • 수익률 $\tilde{R}{i} = (\tilde{P}{i 1} / P_{i 0}) - 1$은 정규 분포를 따름
      • 어떤 이유로든 왼쪽에서 외생적으로, 자산 j는 가격이 mispricing
      • 즉, 자산 j는 기대 수익률 $\bar{R}_{j} \neq 0$을 가지며, 다른 자산들은 기대 수익률이 0
    • 위험 회피적인(risk-averse) 차익거래자 (arbitrageur)는 이러한 가격 mispricing에 이끌려 시장에 진입한다고 하자.
    • 교과서에서 나오는 차익거래자는, 초기 자본 제약 $0 이고, CRRA k를 가지는 지수적 효용 (exponential utilty) 함수의 형태를 가진다.
      • 이러한 가정들은 mean-variance objective 를 함의
  • 자산 j 에 대한 달러 초과 수요 (excess demand)는 다음과 같이 정의한다.

$$ \underbrace{ x_{j}^{a}}_{초과 수요}=\frac{\bar{R}{j}}{k A{j}} $$

 

$$ A_{j} \equiv \min {x{i}: i \neq j} \operatorname{Var}\left(\bar{R}{j}+\sum{i \neq j} \bar{R}{i} x{i}\right) \\ s.t. \sum_{i \neq j} x_{i}=-1 $$

 

  • Arbitraguer는 평균-분산 objective 를 가지고 있고, 자산 j 만을 보유하는 것은 기대 수 수익률을 결정
  • Commitment $\$ x_{j}^{a}$ 이 주어진 경우, 다른 모든 자산들은 포트폴리오의 전체적인 리스크를 최소화하기 위해 보유하게 되며, 단지 zero-net-investment 제약 조건에 따라 선택
  • Quantity $A_{j}$ 은 자산 j 의 "arbitrage risk”가 된다. 이것은 최소 분산 포트폴리오의 분산으로, 이 포트폴리오는 자산 j 에서 $1의 매수 포지션과 다른 자산에서 net으로 $1의 공매도 포지션을 가진다.
    • 예를 들어, 자산 j 에 substitutes가 있다면, $A_{j}$ 는 0이다.
      • 잠재적인 이익이 적고, 리스크 회피가 높으며 substitutes를 찾기 어려울 때 차익거래자는 small 포지션을 취한다.

 

  • 이것들은 downward-sloping 수요 곡선으로 시각화 하기 좋다.
    • $\bar{R}{j} \approx 1-\left(P{j} / P_{j}^{}\right)$ 로 인해 방정식 $\underbrace{ x_{j}^{a}}_{초과 수요}=\frac{\bar{R}{j}}{k A{j}}$ 은 포트폴리오의 $\left(x, P{j} / P_{j}^{}\right)$ 공간에서 intercept가 1이고 기울기가 $-k A_{j}$ 인 차익거래자 (arbitrageur)의 초과 수요 곡선을 나타낸다.
    • 직관적으로, 리스크 회피 (k) 가 0이거나 자산이 완벽한 substitutes을 가지고 있는 경우 ($A_j$ = 0) 수요 곡선은 무한히 탄력적이고 완벽하게 평평하게 된다.

$$ P_{j}^{} = E[P_{j 1}] $$

 

 

 

 

(2. non-arbitrageur 의 수요 곡선)

  • 비-차익거래자들의 초과 수요를 다음과 같이 정의하자.
    • $h_{j}$ : 기본적인 가치 $P_{j}^{*}$ 에 대한 non-arbitrageur 들의 신념의 heterogeneity (이질성)을 나타내는 매개변수
      • 이질적인 믿음 (homogenous beliefs)가 작은 경우( $h_{j}$ 이 작음), non-arbitrageur의 초과 수요 곡선은 평평
      • 이질성이 있는 큰 경우 ( $h_{j}$ 이 큼), marginal non-arbitrageur들이 수요를 수정하도록 유도하려면 큰 가격 변동 (및 큰 기대 수익률)이 필요

 

$$ x_{j}^{na}=\frac{\bar{R}{j}}{h{j}} $$

  • non-arbitrageur의 초과 수요 곡선이 기본 가격에서 0임을 가정하면, 이전 결과를 사용하여 그들의 초과 수요 곡선이 intercept가 1이고 $\left(x, P_{j} / P_{j}^{*}\right)$ space 에서, 기울기가 $-h_{j}$인 것으로 나타난다.

 

 

 

(3. 총수요 곡선과 수요 충격으로부터 오는 mispricing)

  • 총 초과 수요 곡선의 horizontal sum$$ \frac{P_{j}}{P_{j}^{*}}=1-\frac{x_{j}^{agg}}{\frac{1}{k A_{j}}+\frac{1}{h_{j}}} $$
    • N 명의 동일한 차익거래자가 있다면, 대칭성은 $N / k A_{j}$ 이 $1 / k A_{j}$ 을 대체
    • 위에서 제시한 가정들 하에서 총수요 곡선은 $\left(x, P_{j} / P_{j}^{*}\right)$ 공간에서 intercept가 1이고 기울기가 $-1 /\left[\left(N / k A_{j}\right)+\left(1 / h_{j}\right)\right]$

 

$$ x_{j}^{agg}=x_{j}^{a}+x_{j}^{na} $$

 

 

  • 이제는, 가격이 초과 수요 충격에 어떻게 반응하는지 볼 수 있다.
    • t=s 에 자산 j 에 대한 갑작스런 수요 충격 $\$ S$ 가 발생한다고 가정하자.
    • 이 수요 충격은 t=0 과 t=1 사이의 시간 t=s 에 자산 j 에 영향을 미치며 이 충격은 기본적인 자산 j에 대한 새로운 정보를 포함하지 않으므로 외생적
      • 예를 들어, S&P 500 지수에 편입된 주식의 경우 갑작스러운 지수 펀드 수요는 자산의 기본적인 가치에 대한 새로운 정보가 아닌 index fund 의 특성을 반영
      $$ x_{js}^{agg}=x_{js}^{a}+x_{js}^{na}=-S $$ 
  • 자산 j 가 초기에 올바른 가격으로 가격이 매겨진 경우 $P_{j0}=P_{j}^{*}=E[P_{j 1}]$ , 이 수요를 plug-in 하여 $\$ S$ 의 수요 충격에 대한 초과 수익을 구해보면,
    • 자산이 완벽한 대체품을 가지고 있다면 $A_{j}$ 은 0이므로 차익거래자는 총수요 곡선을 완전히 평평하게 만들어 충격이 가격에 어떠한 변화도 없이 흡수

$$  \frac{P_{js}}{P_{j0}}-1 \approx \frac{S}{\frac{N}{k A_{j}}+\frac{1}{h_{j}}}  $$