Pricing theory

pricing 관련 논문들을 읽으려고 이론적인 틀을 정리해 보았다 !

 

 

0. 금융 경제학

금융 경제학은 자산 가격과 경제의 변동 사이의 연결을 연구하는 학문이다. 금융 경제학을 다루는 기본 개념과 도구를 우선 살펴보고, 핵심 이론, 확장되는 다양한 주제들에 대해서 다루어 보고자 한다.

 

금융 경제학에서 가장 기본이 되는 개념과 도구에는

 

(1) Arrow-Debreu State Prices
(2) 확률적 할인 요인 (Stochastic Discount Factors; SDF)
(3) 위험 중립 확률 (Risk-Neutral Probabilities)
(4) 확산 (Diffusions)
(5) 해밀턴-자코비-벨만 방정식 (HJB equations) 

 

핵심 이론 (core theory)에는

 

(1) 포트폴리오 선택 (Portfolio Choice)
(2) 시장 균형이론 (Market Equilibrium)
(3) No Arbitrage Pricing 

 

핵심 축은 위와 같고, 어떤 측면을 다루는 지에 따라 모형의 주제는 매우 다양하게 연구된다. 우선 Recursive preference, Ambiguity, Heterogenous Beliefs, Financial Frictions, 행동재무 (Behavior finance), 전략적 거래 및 시장 미시 구조 (Strategic Trading & Market Microstructure), Formal Empirical Estimation & Testing 등으로 주제를 확장할 수 있다.

 

 

1.금융 경제학의 핵심 내용 전개

 

1.1. 금융 경제학의 기틀

현대 금융 경제학은 kenneth Arrow가 1964년 발표한 "The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk"에 의해서 기틀이 다져지기 시작했다. 때문에 그 시초가 어떤 아이디어와 가정들로 이루어져있는지 우선 파악을 해보아야 한다.

 

애로우 (Arrow)는 3가지 핵심 아이디어에 대해서 언급한다. 용어 번역도 어렵고, 거기에 함의도 의미들도 너무 심오하기 때문에, 최대한 그대로 가져오려고 했다. (그냥 외워두는게 마음이 편할 거 같다.)

 

1. Financial markets are not a zero-sum game (금융 시장은 zero-sum 게임이 아니다)
2. Assets are bundles of state-contingent claims 
3. Dynamic trading of simple securities can replicate the outcomes of more complex securities

 

아마 이후에 어떻게 모형을 확장할 것인지, 어디에 초점을 맞출 것인지에 따라서 연구 방향이 달라질 수 있다.

대표적으로 Modeling choice는 다음과 같이 이루어질 수 있다.

 

Partial vs. General Equilibrium
Complete vs. Incomplete Markets
Discrete vs. Continuous-Time
‘Rational’ vs. ‘Behavioral’
Cross-Sectional vs. Time-Series

 

1.2. Unifying Principle과 Fundamental Equation (기본 방정식)

 

자산가격결정을 설명하는 하나의 이론이 존재하지는 않지만, 그래도 대표적인 이론이라고 할 수 있는 ‘Unifying Principle’가 있다. 이 원리의 기반은 개별 주체의 ‘오일러 방정식(Euler equation)’ 으로부터 시작한다. (전개 순서를 나누어서 정리하는게 도움이 되어서 단계별 형식으로 전개를 해보았다.)

 

(1) (오일러 방정식 도출) 우선 이 오일러 방정식으로부터 논리 전개를 시작할 수 있다.

 

$$ P_{t} U^{\prime}\left(C_{t}\right)=E_{t}\left[\beta U^{\prime}\left(C_{t+1}\right) X_{t+1}\right]  $$

• 여기서 $X_{t+1}$은 자산에 대한 (random) 수익을 나타낸다.

 

 

(2) ($m_{t+1}$ 를 따로 정의하기) 때로는 유틸리티 함수를 특정하지 않는 것이 도움이 될 때도 있다. 나중에 논리를 전개해 나갈 때도 불필요 할 수 있기 때문에 그냥 다음과 같이 $m_{t+1}$로 “정의”해서 사용할 수 있다.

 

$$ m_{t+1} \equiv \beta \frac{U^{\prime}\left(C_{t+1}\right)}{U^{\prime}\left(C_{t}\right)}  $$

• 이 식을 '자산가격의 기본 방정식(Fundamental Equation of Asset Pricing)'이라고 부르며, 우리가 가장 흔히 사용하게 되는 기본식 (Fundamental Equation)이 된다.
• 일반적으로 ‘가격’과 ‘수익’을 관찰하지만 $m_t$를 직접 관찰하지는 않는다. 즉, 여기에는 모델의 경제적인 함의를 담을 수 있으며, $m_t$는 그 의미를 내포하게 된다.
  • 이때, 모든 자산에 대해 동일한 $m_t$ 과정이 적용되므로 주식, 채권, 옵션 및 환율에 대한 별도의 이론이 필요하지 않게 되는 것이다. (모든 자산에 적용)
  • 또한, 시장이 완전하다면 동일한 $m_t$ 과정이 모든 개인에게 적용 되기도 한다. (모든 개인에게 적용)

 

 

(3) (수익 (Returns) 개념 도입) 종종 가격 대신 수익을 보는 것이 더 편리할 때도 있다. 우선 수익은 다음과 같이 정의한다.

 

$$ R_{t+1}=\frac{X_{t+1}}{P_{t}} $$

 

수익을 사용하면 다음과 같이 가격 대비 수익을 표현할 수 있게 된다.

 

$$ 1=E_{t}\left[m_{t+1} R_{t+1}\right]$$

$$ 1=E_{t}\left(m_{t+1}\right) \red{E_{t}\left(R_{t+1}\right)}+\operatorname{cov}{t}\left(m{t+1}, R_{t+1}\right) $$

• 위의 식에서 무위험 자산이 존재한다면 $E_{t}\left(m_{t+1}\right)=1 / R^{f}$ 이므로, 아래와 같이 자산 가격 결정 방정식을 얻을 수 있다.

$$ \red{E_{t} R_{t+1}}=R_{t}^{f}-R_{t}^{f} \operatorname{cov}{t}\left(m{t+1}, R_{t+1}\right) $$ 

• $m_{t}$은 두 가지 역할을 하게 된다.
  • 그의 평균은 자산 지급의 지연을 설명하고 무위험 금리를 결정합니다.
  • 그의 수익과의 공분산은 자산의 위험 프리미엄을 결정합니다.

 

(4) (Back of the envelope calculation) 우선 가정으로부터 시작해서, 기대 수익과 위험 프리미엄으로부터 함의를 도출하고자 한다. 

이때, 시장이 완전 (complete)하고, 모든 개인이 CRRA 효용함수를 가지고 있으며, 이 함수에 따라서 효용을 극대화한다고 가정해 보자. 

$$ m_{t+1}=\beta\left(\frac{C_{t+1}}{C_{t}}\right)^{-\gamma}  $$

 

여기서 $m_{t+1}$은 시간 $t+1$에서의 margin utility이며, $C_{t+1}$은 시간 $t+1$에서의 소비량, $C_t$는 시간 $t$ 에서의 소비량을 나타낸다. $\beta$는 할인 계수이고, $\gamma$는 상대적 위험 회피계수가 된다.

 

 

다음으로는 기대 수익률과 위험 프리미엄을 살피기 위해서 $\mu$ 와 $\sigma_{c}^{2}$를 정의하고자 한다. $\mu$는 시간 간 (intertemporal) 소비 변화의 평균이며, $\sigma_{c}^{2}$는 이 변화의 분산이라고 할 수 있으며, 다음과 같이 표현한다. 

$$ \mu=E\left(C_{t+1} / C_{t}-1\right)$$

$$ \sigma_{c}^{2}=\operatorname{var}\left(C_{t+1} / C_{t}-1\right) $$

 

 

이렇게, $\mu$ 와 $\sigma_{c}^{2}$를 정의해두면, 다음과 같이 기대 수익률($E(R)$)과 위험 프리미엄($R^f$)을 근사화 할 수 있다.

$$ \Rightarrow R^{f} \approx \delta+\gamma \mu-\frac{1}{2} \gamma(\gamma+1) \sigma_{c}^{2} $$

$$ E(R) \approx R^{f}+\rho \gamma \sigma_{c} \sigma_{R} $$

 

• 여기서 $R^{f}$는 무위험 자산의 수익률, $\rho$는 시간 간 소비 변화와 자산 수익률 간의 상관 관계를 나타낸다.

$$ \rho=\operatorname{corr}\left(C_{t+1} / C_{t}, R\right) $$

$$ \beta=1 /(1+\delta) $$

 

 

다음으로는 $|\rho| \leq 1$이므로 이제, 다음과 같은 bound를 얻을 수 있다.

$$ \frac{E(R)-R^{f}}{\sigma_{R}} \leq \gamma \sigma_{c}  $$

• 좌변의 식을 보면, 우리가 '샤프 비율(Sharpe Ratio)'라고 하는 식이다.
• 자산의 Sharpe Ratio가 '위험의 양(quantity of risk)'과 '위험의 가격(price of risk)'의 곱에 의해서 bound 된다는 것을 의미하기도 한다.

즉, 위의 식에서는 자산의 위험 프리미엄 ($E(R) - R^{f}$)은 자산의 가격 변동의 ‘양’(위험의 양) $\gamma$ 과 위험의 ‘가격’ $\sigma_{c}$ (즉, 투자자의 상대적 위험 회피 경향)의 곱으로 bound된다는 것을 보여준다.

 

 

 

1.3. 금융 경제학 이론의 확장

 

그렇다면 이론이 실제 관측되는 데이터를 설명할 수 있는가? 당연히 답은 아닐 것이다... 그렇기 때문에 이러한 물음으로부터 여러가지 해결책이나 확장된 주제들이 나오게 된다. 

USA aggregate 주식 시장 데이터

 

(1) 겉에 드러난 ‘관측되는 현상’을 먼저 보자. 이 기간 동안의 평균(average) 수익률 실제 수익률 (return on the market)은 약 8%이며, 평균 국채 수익률(real T-Bill return) 은 약 1% 정도이다.

• 이때, 평균 자본 수익률 (**equity premium)**은 7%이며, 시장 수익률의 평균 표준편차 (standard deviation)는 약 17.7% 정도이다. 평균 샤프지수 (**Sharpe ratio)**는 대략 40% 정도이다.

 

(2) 조금 더 들어가 보자. 위에서 도출된 식을 기준으로 생각을 해보자.

$$ \frac{E(R)-R^{f}}{\sigma_{R}} \leq \gamma \sigma_{c} $$

• 이 기간 동안 $\sigma_{c} \approx 3 \%$ 정도로 나타났으며, 이것은 최근 몇년간의 값보다 조금 높은 수치이다.
• 따라서, 위에서 도출한 관측된 샤프지수 (observed Sharpe ratio) (LHS) 를 설명하기 위해서 $\gamma$ 의 범위는 (10, 40) 이어야 한다.
• ⇒ 다만, 이렇게 큰 $\gamma$ 값은 리스크를 더 많이 감수한다는 다른 증거와 모순되어 자본 수익률 “퍼즐”(Equity Premium Puzzle)이라고도 불리는 것이다.
• 더군다나, $\gamma$의 하한값 (lower bound)은 $\boldsymbol{R}^{f}$ 값을 지나치게 크게 만들어 내며, 오히려 무위험 금리 ’퍼즐’(Risk-Free Rate Puzzle)이 발생할 수 있다.

 

(3) 또한, 데이터에서 나타나지 않는 특징 중 하나는 가격이 지속적으로 "긴 흐름(long swings)"을 겪는다는 것이다.

• 즉, "상승 시장(Bull Markets)"과 "하락 시장(Bear Markets)"이 번갈아가면서 나타나는 경향이 있다는 말이며, 이는 다시 말해서 수익률은 i.i.d가 아니며 어느 정도 예측 가능하다는 점이다.

그렇다면 이 문제를 어떻게 바라보고, 어떻게 설명을 할 것인가?

먼저, 위의 현상은 수익률 (return)이 아니고, 가격 수준을 그래프로 그렸을 때 더 뚜렷하게 보인다.

 

(3)-1. 이때, 장기 성장 (long-run growth)을 잡기 (controlling) 위해 기업이익** (corporate earnings)이 평활화된(smoothed) 측정치를 이용해 스케일을 조정할 수 있다. (** 이때, 기업이익이 아닌 배당금으로 조정해도 비슷한 결과)

 

(그림 해석) 과거 140년 동안 주식 시장의 움직임을 살펴보면 3번의 상승장(Bull Market)과 2번의 하락장(Bear Market)이 있었다.

1. 1920-1929: 1920년대 상승장
2. 1950-1968: 1950년대부터 1960년대 중반까지의 상승장
3. 1982-2000: 1982년부터 2000년까지의 상승장
4. 1900-1920: 1900년부터 1920년까지의 하락장
5. 1970-1982: 1970년부터 1982년까지의 하락장

이 중 특히 1920년대와 1980년대에서 1990년대에 나타난 상승장은 기술적 변화와 혁신(innovation)이 빠르게 일어난 시기였다. 이러한 길어지는 주식가격 스윙 (long swings)은 '거품(bubble)'이나 '이성을 잃은 자들의 열광(irrational exuberance)' 기간이 아니라, 투자자들이 미래 수익 (future earnings)과 배당금(dividends)을 지속적으로 재평가(revise)해야 할 가능성을 반영하는 것으로 생각할 수도 있다.

 

 

(3)-2.

다만, 이것이 항상 작동하는 것은 아닌데, 이를 이론적으로 다루는 것이 '쉴러 바운드(Shiller Bound)'이다. 이것은 단순히 투자자들이 수익과 배당금을 재평가한다고만 설명할 수 없고, ‘다른 요인’들도 주식 가격 변동에 영향을 미친다는 것을 설명하고자 한다.

• 쉴러의 연구 결과에 따르면 대부분의 주식 시장 움직임은 ‘미래 수익(earnings) 성장률’의 수정이 아니라 ‘미래 기대 수익률(expectedreturns)’의 수정을 반영한다고 하며, 다시 말해 시간에 따라 변동하는 위험 프리미엄을 반영한다고 본다.
• 금융 경제학자들은 현재, 위험 프리미엄의 수준(level of risk premia) 뿐만 아니라 ‘시간에 따른’ 이동 및 경기순환과의 상관관계를 설명할 수 있는 모델을 만들려고 노력한다.
  • Hansen과 Jagannathan는 HJ bound를 사용하는데, 이는 비모수적(nonparametric)이며, SDF (stochastic discount factors)관련 모든 이론에 대한 ‘목표’를 제공하기도 한다. 또한 기존의 위험 프리미엄 모델의 한계를 명확하게 보여 주기도 한다.

 

 

(4) 아마 이제 Pricing 모델의 큰 틀은 기존의 완전 시장 (complee markets), time-additive, CRRA 모형이 가질 수 있는 단점들을 보완하거나 뒤집는 모습으로 엄청 ‘다양한’ 모형들이 등장하게 된다.

 

그러나 이러한 다양한 모형들이 ‘궁극적으로 목표’ 하는 바는 같다. 각 모델은 주로 소비의 한계 효용 (marginal utility of consumptions)의 변동 (fluctuation)을 강조하는 새로운 변수인 ‘$\boldsymbol{Y}_{t+1}$ 를 제안한다.

 

$$ P_{t}=E_{t}\left[\left(m_{t+1} Y_{t+1}\right) X_{t+1}\right] $$

 

 

즉, 여러 다른 모델들은 $\boldsymbol{Y}_{t+1}$을 어떻게 정의하고 활용하는지에 따라 다르게 구성된다.

 

• 이때, Y 는 (1) Preferences (2) Beliefs, (3) Market Structure 가 대표적인 범주로 묶이고, 그 이외에도 Habits, Recursive preference, Rare Disasters, Ambiguity, Heterogenous Priors, Idiosyncratic Labor Income, 금융 마찰 및 중개자 모형 (Financial Frictions & Financial Intermediaries) 등이 있을 수 있다.
• 이를 통해 우리는 소비의 한계 효용의 변동을 더 잘 설명하고 이러한 모델을 다양한 데이터와 일치시키려는 부단한 노력을 하게 된다.
• 특히, 이러한 모델들은 우리가 눈으로 직접 ‘관찰’할 수 있는 ‘micro-데이터’와 ‘cross-sectional (횡단면) 데이터’와의 일관성도 가질 수 있도록 설계한다.

 

즉, 모델은 실제 경제의 복잡성을 더 잘 설명하기 위해서 다양한 변수 혹은 요인들을 고려하게 된다.

 

• Reference : 뉴욕대 강의자료 참고 (Prof. Kasa)