QFAVAR ! Monitoring multicountry macroeconomic risk 1

 

FAVAR도 복잡한데, 그래서 대체 QFAVAR 너는 몇 차원에서 놀고 있는 거니..? ㅎㅎ

왜 VAR이 아닌 FAVAR 인지, 왜 FAVAR가 아닌 QFAVAR를 사용하는지 역으로 질문하다 보면, 이 모형의 두 가지 장점을 확인할 수 있다.

 

1. Country-level에 따른 충격 반응을 살펴볼 수 있고,
2. 각 개별 요인의 quantile을 표현할 수 있고,
3. 이에 따른 두 분위수의 connection이 또 어떤 영향을 미치고 경제에 드러나는지

 

살펴본다고 생각하면 된다. 또 추정 방법론은 베이지안을 활용하는데, 이 시스템이 너무 복잡해서 베이지안 추론을 이용하지 않으면 답이 없기 때문이다. 저자가 코드를 제공하지만, 차마 돌려볼 수 없겠다. 소중한 노트북이 열받아 하니까 !

 

 

제목 : Monitoring multicountry macroeconomic risk
저자 : Dimitris Korobilis and Maximilian Schroder
저널 : European Central Bank

 

 

국가 간 (multicountry), 그리고 경제 시계열의 분포 특성 간 의 다양성을 모델링하기 위해서 QFAVAR를 사용하는 방법을 제시한다. 분위수 요인은 다양성 (heterogeneities)을 간결하게 표현할 수 있다.

 

여기서는 분위수 충격반응 함수 (Quantile Impulse response) 와 분위수 연계성 측정치 (connectedness measures)를 활용해서 공동 위험 (joint risk) 시나리오 분석 방법을 제시한다.

 

FAVAR 모형에서 시작해보자. 이 모델은 여러 국가의 경제 지표에 대한 패널로 적용이 가능하다. 이 모델링 접근 방식은 latent factor 를 추출하는데, 이때 latent factor는 관측 변수와 함께 VAR로 로 나타내는 모형이다. (Stock and Watson; 2016) 여기에 분위수 setting을 해서 확장하여 분석을 하고, 본질적으로 고차원 모델 (high-dimensional model)로 이어지는 방법을 보여준다. 또한 베이지안 추론이 추정 이러한 과정에서 어떻게 도움이 되는지를 설명한다.

 

 

[모형]

$y_{ijt}$는 국가 j의 시점 t에서 관측된 경제/금융 지표 i를 나타낸다. 이때, $i = 1, ..., m,$ $j = 1, ..., n$, $t = 1, ..., T$ 이라고 생각하면 된다.

• $y_t=[y_{11t}, ..., y_{1nt}, ..., y_{m1t}, ..., y_{mnt}]$을 indicator-specific factors $f_{t(q)}^{i}$로 그룹화하여 분포를 표현하는데, 이때 $q=q_{1}, ..., q_{R}$이고 $q_{r}$는 (0, 1) 범위 내에 있으며 $q_{r-1} < q_{r}$ 이라고 생각하면 된다.
• 관측된 변수인 $g_t$의 k * 1 벡터로 요약된 global-level factors 도 가정

이때 quantile factor model 은 $y_{ijt}$의 q번째 조건부 분위수를 다음과 같은 형식으로 global indicators 및 indicator-specific factor의 선형 함수로 지정하는 것으로 시작

 

$$ Q_{q}\left(y_{i j t} \mid {g}_{t}\right)=c_{i j(q)}+{\gamma}_{i j(q)} {g}_{t}+\lambda_{i j(q)} f_{t,(q)}^{i} $$

 

• ${\gamma}_{ij(q)}$는 관측된 global indicators ${g}{t}$에 대한 로딩
• $\lambda_{ij(q)}$는 가중치 (스칼라)로 관측되지 않는, indicator-specific factor $f_{t(q)}^{i}$의 로딩(가중치)

 

분위수는 아래의 parametric 회귀식으로 나타낼 수 있으며, 이 회귀에서 $u_{ijt(q)}$는 비대칭 라플라스 잡음 (asymmetric Laplace disturbance)으로 간주한다.

 

 

$$

y_{i j t}=c_{i j(q)}+\gamma_{i j(q)} \blue{{g}_{t}}+\lambda_{i j(q)} \blue{f_{t,(q)}^{i}}+u_{i j t(q)}

$$

$$ f\left(u_{i j t(q)}\right)=\frac{q(1-q)}{\sigma_{i j(q)}^{2}}\left\{e^{\left[(1-q) \frac{u_{i j t(q)}}{\sigma_{i j(q)}}\right]} \mathbb{I}\left(u_{i j t(q)} \leq 0\right)+e^{\left[(-q) \frac{u_{i j t(q)}}{\sigma_{i j(q)}}\right]} \mathbb{I}\left(u_{i j t(q)}>0\right)\right\} $$

 

모든 분위수 수준에서 관측되지 않은 요인을 요약하는 벡터 ${F}_{t}=\left[f{t\left(q_{1}\right)}^{1}, \ldots, f_{t\left(q_{1}\right)}^{m}, f_{t\left(q_{2}\right)}^{1}, \ldots, f_{t\left(q_{2}\right)}^{m}, \ldots, f_{t\left(q_{r}\right)}^{1}, \ldots, f_{t\left(q_{r}\right)}^{m}\right]^{\prime}$를 정의할 수 있고, 이러한 indicator-specific quantile factor과 global factor가 contemporaneously하게 그리고 동역학적으로 상관관계까 있으며, 이를 VAR (p) 을 통해 다음과 같은 형식으로 정리한다.

 

$$ \left[\begin{array}{l}{F}_{t} \\{g}_{t}\end{array}\right]={v}+{\Phi}_{1}\left[\begin{array}{l}{F}_{t-1} \\{g}_{t-1}\end{array}\right]+\ldots+{\Phi}_{p}\left[\begin{array}{c}{F}_{t-p} \\{g}_{t-p}\end{array}\right]+{\varepsilon}_{t} $$

 

 

여기서 $\Phi_{c}$ 는 자기 회귀 계수 (autoregressive coefficient) 이며, $\varepsilon_{t} \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{\Omega})$ 이고 $mathbf{\Omega}$ 는 symmetric and positive definite한 공분산 행렬이다. l=m r+k 은 F와 g의 joint dimension 이다. 즉, joint dimension을 다룬다는 것은 분위수 간의 동적인 상관관계의 복잡한 패턴이 결국 분위수 요인의 추정 결과에도 영향을 미칠 수 있도록 하게 된다. 이는 QFAVAR를 이용해서 구조적 VAR을 추론하는 데 중요하다.

또한 u_{ijt(q)}가 모든 i, j, q에 대해 서로 독립적이기 때문에 계산상의 단순성을 유지해야 한다. 다만 상태방정식의 VAR은 너무 복잡하기 때문에 복잡성이 확대될 수 있다. 이를 해결하기 위한 방법으로 베이지안을 사용하는 것이기도 하며, 우도 기반으로 추론을 하게 된다.

 

 

 

[우도 및 사전/사후 분포]

이제는 우도 (Likelihood), 사전,사후 추론 (Priors, posterior inference)를 살펴보아야 한다.

• linear state-space system

$$ \begin{aligned}{\left[\begin{array}{l}{Y}_{t} \\{g}_{t}\end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{ll}{\Lambda} & {\Gamma} \\\mathbf{0} & {I}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{F}_{t} \\{g}_{t}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_{t} \\\mathbf{0}\end{array}\right] \\{\left[\begin{array}{l}{F}_{t} \\{g}_{t}\end{array}\right] } & ={\Phi}\left[\begin{array}{l}{F}_{t-1} \\{g}_{t-1}\end{array}\right]+{\varepsilon}_{t} \end{aligned} $$

 

$Y_t$는 벡터 $y_t$가 r번 반복된 $nmr * 1$ 벡터이며, ${\Lambda}$ 에는 대각선에 분위수별 로딩인 ${\Lambda}(q)$ 를 가지는 nmr * mr 블록 대각선 행렬이다. 여기서 이 모델은 많은 파라미터가 포함된 고차원의 시스템으로 구성될 수 있기에 우도기반 접근 방식으로 베이지안 추론을 진행하게 된다.

 

• ** 베이지안 (Bayesian inference)을 사용하는 이유는, 많은 관찰값이 없는 (극단적인) 분위수의 추정을 고려할 때, joint 우도에서 자동 정규화하는 사전분포가 사용 가능하기 때문임. ${\Lambda}$ 와 ${\Gamma}$ 와 $\Phi$ 의 sparse 신호 Horseshoe 사전 분포를 구체화 할 수 있다.

$$ \begin{aligned}{\theta} \mid \xi, {\eta} & \sim \prod_{i=1}^{0} N\left(0, \xi \eta_{i}\right) \\\xi & \sim C^{+}(0,1) \\\eta_{i} & \sim C^{+}(0,1) \end{aligned} $$

 

 

 

[실증 분석]

• (데이터) 9개 유로 국가의 5개 거시 변수들 (1996M1 - 2022M12)을 활용한다. 3개의 (시)계열은 ECB의 SDW (Statistical Data Warehous)에서 가져오고, 산업생산 (IP)는 OECD에서 가져온다. Economic Sentiment Index는 DG ECFIN에 의해 제공되는 복합 지수이고 이를 가져온다.
  • ** 모든 데이터는 계절조정 되었고, YoY 성장률로 변환 가능

 

 

Global 지표로는 Global Inflation (GINF), the Global Supply Chain Pressure Index (GSCPI), the Financial Conditions Index (FCI), and Global Economic Policy Uncertainty (GEPU)를 활용한다.

• ** FCI는 100개의 금융 시계열 자료를 통해 추출한 요인이고, 주식, 외환, 채권 등 주요한 금융 시장에서부터 가져온 지표로부터 추출한다.

• (모형 구체화) 표1의 국가별 거시지표 그룹 당 하나의 요인을 추출하며, 분위수 q 는 0.1, 0.5, 0.9로 두게 된다. 모델의 상태 방정식에 최대 lag를 6개까지 설정한다.
• 이때, $\Gamma=0$인 경우, global 충격은 quantile factor를 통해만 country-level 데이터로 전달되므로 impulse에 대한 국가 수준 responses가 대칭으로 나오게 된다.

 

거시 경제의 역학 (macroeconomic dynamics)의 대부분 “공통된 요인으로부터 특징” 지을 수 있다는 것은 아마 대부분이 알고 있을 것이다. 이 논문의 목표는 평균 요인 (in-mean)만을 고려할 때는 숨겨져서 (hidden) 보이지 않는 거시경제 변수의 분위(quantiles) 역학이 상당하게 나타난다는 것을 보여주는 것이다. 그렇기 때문에 “quantile 방법”을 도구로 활용하는 것이다.

 

또한 이러한 역학 (dynamics)들이 그 자체에서 일어나는 것 뿐만 아니라, 강력하고 경제적인 의미를 가진 이질성 (heterogeneity)이 있다는 점 또한, “FAVAR 모형”에서 충격 전파 경로 (transimission mechanism)를 통해서 보여줄 수 있다.

 

 

(그림 해석)이 그림들은 각각 (1단계) MCMC 및 (2단계) VB 추정을 사용하여, 추정된 QFAVAR 요인을 보여준다. 두 경우 모두 quantile factor 추정치는 10, 50, 90 백분위의 요인의 사후 평균 (posteriormeans)을 나타낸다. 위의 두 그림에서 찾을 있는 시사점은 MCMC와 VB 추정치 간에 뚜렷한 차이가 보이지 않는다는 것이다.

 

 

IRF of FAVAR

 

위에서 4개의 글로벌 변수가 변화할 때, 어떤 영향이 나타나는 지를 보여주었다. 이 그림은 4개의 (인플레와 산출 반에 반응을 일으키는) 글로벌 변수의 중요성에 대해 더 깊이 분석하기 위해 가져온다.

이번 그림에서는, 인플레이션 (왼쪽)과 산출 (오른쪽) 요인의 서로 다른 분위수 수준의 예측오차 분산분해 (forecast error variance decompositions; FEVD)를 보여준다. 여기서 중요하게 생각해 보아야 할 점은 총 기여가 100%가 되지 않는다는 것이며, 중요한 패턴들이 발견된다.