Pension Systems (Un)sustainability and Fiscal Constraints: A Comparative Analysis

Pension Systems (Un)sustainability and Fiscal Constraints: A Comparative Analysis (2023)
CESif working paper
저자 : Burkhard Heer, Vito Polito, Mike Wickens
분야 : Public Finance, Pension

 

연금을 분석할 때 일반적으로 OLG (Overlapping Generation) 모형, 즉 세대중첩 모형을 사용한다. 이는 각 행위자들은 유한한 길이의 시간을 살고, 다음 세대의 삶의 적어도 한 기간과 겹치는 기간까지 살아남는다고 가정한다. (연금의 경우, 연금을 받는 세대, 받지 않는 세대가 한 경제에 존재). 즉, 어떤 것이 한 기간 이상 보존되지 않는다고 할 때, 그럼에도 불구하고 평생 소비를 해야 할 때, 어떻게 해야하는지에 대한 물음으로 부터 시작된 모형인 것이다. 

 

이 논문은 OLG 모형을 사용해서, “공적 연금 체계”의 지속 가능성에 대한 두 가지 지표가 제안이 되었다.

1. 연금 공간(pension space; PS)은 정부가 특정 시기 동안, 노동 세금 (labour taxation) 로 공적 연금을 얼마나 자금 조달할 수 있는 지 (capacity)를 측정
2. 연금 공간 고갈 확률(pension space exhaustion probability ;PSEP)는 인구 통계적 불확실성 (demographic uncertainties)의 결과로, 미래 어느 시점, 연금 공간 PS 가 0에 도달할 확률을 측정

이에 더해, 연금 한도 (Pension Limit; PL)로 균형점을 찾기도 한다. 선진국들의 연금 공간 (PS)이 각 나라별로 뚜렷하게 다르게 나타난다는 것을 알았고, 대부분의 국가들은 이후 30년 동안 노동 소득 과세를 통해 연금을 추가로 재정 (finance)할 공간 (space)이 거의 남아있지 않다고 분석한다.

 

모든 곳에 적합한 해결책은 존재하지 않는다. 위험-동등 연금 개혁 (Risk-equivalent pension reforms)은 장기적으로 복지를 향상시키며, 특히 고령화가 빠른 국가들에게 적합하지만, 그에 따른 상당한 이행 비용 (transitional costs)이 따르게 되기도 한다.

 

[문제 분석]

• 선진국들이 직면한 문제는 무상 공적 연금 체계 (unfunded old-age public pension systems)를 지속할만한 충분한 여유가 있는 지에 대한 것이다.
  • 공적 연금은 주로 선진국의 국민 소득과 사회적 지출에서 상당한 부분을 차지하고, 두 자리수에 달하는 비중을 가지기도 하기 때문이며, 사람들의 대부분 생애에 영향을 미치는 비용과 혜택을 내포하고 있다.
• 공적 연금이 직면하는 주요 위험은 고령화 인구와 변화하는 노동 패턴에서 비롯된다는 점은 누구나 알고 있을 것이다.
  • 더 많은 인구가 국가 연금을 요구하지만, 노동자 중 책임을 지는 활동 인구의 비율은 점차 줄어드는 실정이다.
  • 이에 더해 불확실성이 미래 공공 연금 지출의 규모와 시점, 정책 결정자의 이행 의무 능력 등에 따라서 더 크게 나타나고 있다.
• 그렇다면 해결책은 무엇일까? 정부가 공적 연금 불균형을 해결하기 위한 장기적이고 지속 가능하도록 하는 정책 개입은 실제로는 제한되어 있다 (IMF, 2022a).
  • 대표적인 하나의 방법은 직접 과세를 증가시키는 것이다. 그러나 이는 일자리에 대한 동기를 저하시키고, 경제 성장을 줄이며, 정부 세수를 낮추기도 한다. 따라서 이에 대비한 추가적인 조치가 필요할 수 있다. (이를 라퍼 효과 (Laffer Effect)라고도 한다.
  • 간접 과세의 경우에는 부분적 자금 조달한다거나, 연금의 지급을 줄이거나, 퇴직 연령을 높인다는 등이 포함된다. 이러한 개입 각각은 정부 예산, 노동 인력 참여 및 개인 저축에 따라서도 경제에 미치는 영향이 매우 다르다. 또한 개혁이 실행되는 시점에 ‘국가의 경제 상황’과 ‘진행 속도’에 따라 분배적 효과도 매우 달라질 수 있다.

위의 문제를 모형화 하고, 양적 분석을 통해 시사점을 도출해 낼 수 있다.

 

 

[방법론 및 모형]

• 공적 연금 체계의 실현 가능성과 지속 가능성을 검토하고, 연금 성과를 향상 시키기 위한 정책 개입의 효과가 어떠한지 우선 모형으로 함의를 도출하고, 양적 (quantative) 으로 분석해 볼 수 있다.
  • 해당 논문에서는 PS와 PSEP 개념을 도입하고, 이 개념과 특성을 기반으로 한 (1) OLG 모형 유도를 하고, (2) 양적 분석 두 축으로 진행된다고 생각하면 된다.
• 앞서 말한 것처럼 우리가 다뤄야 할 문제는 1) 세율을 어떻게 책정해야 하고, 2) 과세 특징에 따라서 어떤 예산을 최대화 하는 문제를 고려해야 하며, 3) 미래 시점에 PS가 0에 도달할 확률을 추정하는 것이다. 이를 고려하여 모델을 짤 수 있다.
  • OLG 모형의 캘리브레이션을 통해 각 국가의 균형 (steady state equilibrium)를 2020년까지의 거시경제 합계를 기반으로 모형화 하고, PS의 계산을 2020년 이후로 확장하여 2050년까지의 **연금 공간 고갈 확률(PSEP)**을 추정한다.
  • 다음으로, PS와 PSEP가 도출이 되었다면 정책 개혁 분석을 할 수 있다. 크게 세 가지 개입을 할 수 있는데, (1) 소비세 5% 인상, (2) 연금 대체율 10% 감소, (3) 은퇴 연령 2년 증가와 같은 개입을 할 때, 각각 PS와 PSEP 가 어떻게 반응 하는 지를 살핀다. 구체적으로
    • 은퇴 연령 2년 증가와 동일한 **연금 공간 고갈 확률(PSEP)**을 2050년에 가지려면 각 국가의 소비세 및 연금 지급액을 어떻게 변경해야 하는 지를 계산
    • PS의 고갈 확률이 미래에 어느 시점에서 고갈될 가능성이 같아지게 하는 “연금 개혁”을 했을 시에, 거시경제 및 복지 효과에 대한 위험-동등 평가를 실시
    • 세 가지 개혁의 단기적인 분배적 효과와 그것이 구현 속도에 어떻게 의존하는 지를 평가

 

[OLG 모형 유도]

항상 다른 DSGE 모형과 같게, 경제 주체는 가계 (Household) , 기업 (Firms), 정부 (Government)로 구성이 되어 있고, 각 주체들은 각각의 목적 (Objective)와 제약이 존제한다.

 

가계 (Household)

 

용어 (notation)을 잘 정리해서 이해해야 나중에 보기가 쉽다. 해당 모형에서 가정들은 다음과 같다.

• 시간 $t$ 마다 새로운 세대의 사람들이 태어나고, 태어난 사람의 나이는 $s = 1$ 이 된다. 모든 세대는 $s = T^{W} > 1$이 될 때 은퇴하며, 최대 나이는 $s = T > T^{W}$라고 가정하자.
• 인구 증가율은 $n_{t}$ 로 표시되며, 특정 기간 t 의 총 인구는 $N_{t}$이고, 나이 s 의 가구 수는 $N_{t}(s)$ 라고 둘 수 있다. 해당 시기의 총 인구 중 s 세대의 비율은 $\mu_{t}^{s}$ 로 정의할 수 있다.
• 모든 세대의 생존 확률은 $\phi_{t}^{s}$ 이며, $\phi_{t}^{0}=1$이고, $\phi_{t}^{T}=0$ 이라고 할 수 있다.
• 각 가계는 하나의 개인으로 구성이 되있다고 가정하며, 각 기간 t 마다 새로운 가계들은 기간 간 기대 효용 (expected intertemporal lifetime utility)을 극대화한다.

 

기간 간 생애 기대 효용 (expected intertemporal lifetime utility):

$$ U_{t}=\sum_{s=1}^{T} \beta^{s-1}\left(\prod_{j=0}^{s-1} \phi_{t+j-1}^{j}\right) u\left(c_{t+s-1}^{s}, l_{t+s-1}^{s}\right) $$

• 여기서 $\beta, c \text ,\ l$은 할인 인자 (household’s discount factor), 소비 (consumption), 노동 공급 (labour supply)이다.
  
  • 각, 효용 함수는 다음과 같다.

$$ u(c, l)=\frac{1}{1-\eta}\left(c^{1-\eta}\left[1-\kappa(1-\eta) l^{1+1 / \varphi}\right]^{\eta}-1\right) $$ 

• 파라미터 $\eta$ 는 기간 간 대체 역탄성성 (inverse elasticity of intertemporal substitution) 이고, $\varphi$ 는 노동 탄력성 (Frisch labour elasticity), $\kappa$ 는 스케일링 파라미터

 

가계의 총 소득은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ y_{t}^{s}=\left\{\begin{array}{ll}\left(1-\tau_{t}^{w}-\tau_{t}^{p}\right) w_{t} A_{t} \bar{y}^{s} l_{t}^{s} & s=1, \ldots, T^{W} \\\operatorname{pen}_{t} & s=T^{W}+1, \ldots, T\end{array}\right. $$

• $y_{t}^{s}$ 는 가계의 총 소득을 나타내며, 노동 소득은 노동자인 경우에는 임금율 $w_{t}$ , 총 생산성 $A_{t}$, 연령별-생산성 가중치 (age-productivity of the s-year-old household) $\bar{y}^{s}$ 및 근무 시간 $l_{t}^{s}$ 의 곱으로 나타낸다.
• 노동 소득은 소득세 (income tax) 와 **사회보장 기여금 (social security contribution levied)**에 의해 감세된다.
• 은퇴 후 가구는 연금을 수령하며, 연금 수령은 $\text{pen}_{t}$ 로 표시

 

모든 시기 t에 대해 $s=1, \ldots, T$ 인 연령의 가구의 예산 제약 (budget constraints)은 다음과 같다.

$$ \left(1+\tau_{t}^{c}\right) c_{t}^{s}=y_{t}^{s}+\left[1+\left(1-\tau_{t}^{k}\right) r_{t}\right] a_{t}^{s}+t r_{t}^{s}-a_{t+1}^{s+1} $$

• 여기서 $\tau_{t}^{c}$는 소비에 대한 세율, $\tau_{t}^{k}$는 자본소득에 대한 세율을 나타낸다. $a_{t}^{s}$는 t기 시작 시점에서 s세 가계가 보유한 자산의 양 (rate of return on assets)을 의미하며, $r_{t}$은 자산의 수익률을 나타냅니다. $t r_{t}^{s}$는 정부로부터 받는 연금과 무관한 이전 (non-pension-related transfers)을 나타낸다.
• 은퇴 시 가구는 노동을 하지 않으므로 $l_{t}^{s}=0$ 이며 , $s=T^{W+1}, \ldots, T$에 대해서 $a_{t}^{s}=0$이며, 가구는 자산 없이 태어나고 사망한다. 또한, 가구는 확실한 세후 수익률 (after-tax return)을 얻는 물리적 자본 (physical capital) 또는 정부 채권 (government bonds) 중 어느 것을 보유하더라도 무관심하다고 가정한다.

 

 

위의 식들을 정리하면, 균형 상태에서 t기의 생애 주기 내에서 가계는 다음과 같은 소비, 노동 및 자산 (asset)의 최적 배분 (optimal allocation)을 위한 균형 조건 (equilibrium conditions)을 만족한다.

 

$$ \begin{align*} u_{c, t}^{s} &= \lambda_{t}^{s}\left(1+\tau_{t}^{c}\right), \quad s=1, \ldots, T, \\ -u_{l, t}^{s} &= \lambda_{t}^{s}\left(1-\tau_{t}^{w}-\tau_{t}^{p}\right) w_{t} A_{t} \bar{y}^{s}, \quad s=1, \ldots, T^{W}, \\ \lambda_{t}^{s} &= \beta \phi_{t}^{s} \lambda_{t+1}^{s+1}\left[1+\left(1-\tau_{t+1}^{k}\right) r_{t+1}\right], \quad s=1, \ldots, T-1, \end{align*} $$

• 여기서 $u_{c, t}^{s}$와 $u_{l, t}^{s}$는 각각 가계 s세에서 소비 및 노동에 대한 유틸리티의 미분을 나타내며, $\lambda_{t}^{s}$는 방정식 라그랑주 승수 (Lagrange multiplier) 이다.

 

 

 

기업(Firms)

 

기업은 가장 간단한 기본 DSGE 모형 틀을 활용한다.

• 기업 (representative firm) 은 aggregate 자본과 노동을 사용하여 이윤을 극대화하고, 노동증대형 (labour-augmenting) 기술진보를 갖춘 Cobb-Douglas 생산 함수를 사용한다. 이 함수는 $Y_{t}=K_{t}^{\alpha}\left(A_{t} L_{t}\right)^{1-\alpha}$로 표현되고, $L_{t}$는 총 노동을 나타내고, $\alpha$는 자본의 비율을 나타낸다.
• 기술은 시간이 지남에 따라 $g_{A}$ 외생적인 비율로 성장하며, 이것은 경제의 균형 성장률 (balanced-growth rate)과 같다. 생산은 완전 경쟁적이기 때문에, 균형에서는 노동과 자본이 한계 생산성에 따라 보상을 받게 된다.

$$ w_{t}=(1-\alpha) K_{t}^{\alpha}\left(A_{t} L_{t}\right)^{-\alpha}, \\ r_{t}=\alpha K_{t}^{\alpha-1}\left(A_{t} L_{t}\right)^{1-\alpha}-\delta, $$

• 여기서 $w_{t}$는 노동의 가격, $r_{t}$은 자본의 가격을 나타내고, 또한, $\delta$는 물리적 자본의 감가상각률을 나타낸다.

 

 

정부 (Governments)

 

정부는 공공 소비 (public consumption)인 $G_{t}$, 이전 지출 (transfers)인 $\operatorname{Tr}_{t}$, 공공부채에 대한 이자지급 (interest payments) $r_{t}^{b} B_{t}$을 할당하게 된다. 여기서 $r_{t}^{b}$는 정부 채권의 세후 수익률을 나타낸다.

 

 

이런 정부 지출 (좌변)은 세금인 $\operatorname{Tax}{t}$과 새로운 부채 (new debt) $B_{t+1}-B_{t}$를 통해 재정 (finance)되며, 또한 각 주기에서 생존하지 못하는 사람들로부터 자산을 징수한 수입 (revenue accruing from these accidental bequests) $B e q_{t}$로 충당된다.

 

위의 내용을 정부 예산 제약식으로 나타내면 다음과 같이 재정정책을 나타낼 수 있다.

 

$$ G_{t}+\operatorname{Tr}_{t}+\left(1+r{t}^{b}\right) B_{t}=B_{t+1}+\operatorname{Tax}{t}+B e q{t} $$

 

• 전형적인 지불 능력 조건 (canonical solvency condition)은 장기적으로 정부 부채가 $r^{b}$보다 낮은 비율로 성장해야 함을 요구한다. 즉, $\lim {T \rightarrow \infty} B_{T+1} / \prod_{j=0}^{T}\left(1+r_{j}^{b}\right) \leq 0$ 을 만족해야 한다.

 

 

위의 내용을 정부 예산 제약식으로 나타내면 다음과 같이 재정정책을 나타낼 수 있다.

$$ B e q_{t+1}=\sum_{s=1}^{T-1} N_{t}(s)\left(1-\phi_{t}^{s}\right)\left[1+\left(1-\tau_{t+1}^{k}\right) r_{t+1}\right] a_{t+1}^{s+1} $$

• 총소비 $C_{t}$, 자본 및 노동에 대한 **세금 수입 (Revenue from taxation)**은 다음과 같다.

$$ \operatorname{Tax}_{t}=\tau_{t}^{c} C_{t}+\tau_{t}^{w} w_{t} A_{t} L_{t}+\tau_{t}^{k} r_{t} K_{t} $$

 

 

정부 부문에는 “pay-as-you-go 연금 제도”도 포함시켜야 한다. 정부가 은퇴한 가계에 지불하는 “연금”은 세후 평균 노동소득의 일정 비율로 계산된다.

 

$$ \operatorname{pen}_{t}=\theta_{t}\left(1-\tau_{t}^{l}\right) w_{t} A_{t} \bar{l}_{t} $$

• 여기서 $\theta_{t}$는 연금 대체율을 나타내며, $\tau_{t}^{l}=\tau_{t}^{w}+\tau_{t}^{p}$ 이고, $\bar{l}_{t}$은 주기 t에서의 평균 근로 시간을 나타낸다. 즉, 모든 근로자의 평균 근로 시간으로 정의되며,

$$ \bar{l}{t}=\sum{s=1}^{T^{w}} \mu_{t}^{s} l_{t}^{s} / \sum_{s=1}^{T^{w}} \mu_{t}^{s} $$

 

 

연금 지출 (pension expenditure)은 은퇴한 가계에 지급되는 연금의 합으로 나타낸다.

 

$$ \operatorname{Pen}_{t}=\sum{s=T^{W}+1}^{T} N_{t}(s) \text { pen }_{t} $$

 

또한 사회보장 예산 (social security budget)은 다음과 같이 정의

$$ \operatorname{Pen}_{t}=\tau_{t}^{p} w_{t} A_{t} L_{t} $$

• 여기서 $\tau_{t}^{p} w_{t} A_{t} L_{t}$는 노동소득 과세로부터 획득되는 돈을 정부의 연금 지출 자금으로 사용

 

 

균형 조건

 

모델 내에서 소비, 노동, 자산 및 이전 지출은 해당 개별 변수의 합으로 결정된다.

 

$$ C_{t}=\sum_{s=1}^{T} N_{t}(s) c_{t}^{s}, \quad L_{t}=\sum_{s=1}^{T^{W}} N_{t}(s) \bar{y}^{s} l_{t}^{s}, \quad \mathcal{A}{t}=\sum{s=1}^{T} N_{t}(s) a_{t}^{s}, \quad T r_{t}=\sum_{s=1}^{T} N_{t}(s) t r_{t}^{s} . $$

이제 시장의 균형 조건들로 돌아갈 수 있다.

• 상품 시장 (goods market)에서 균형은 총산출 (aggregate output) 이 총수요 (aggregate demand)와 같아야 한다.

$$ Y_{t}=C_{t}+G_{t}+K_{t+1}-(1-\delta) K_{t}  $$

 

 

• 자본 시장 (capital market)에서의 균형은 가계가 구입한 총자산 (aggregate assets) 이 총자본 (aggregate capital)및 정부채권 (government bonds)의 합과 같아야 한다.

$$ \mathcal{A}_{t}=K_{t}+B_{t} . $$

 

 

무재정조건 (no-arbitrage condition)은 균형에서 모든 자산이 세후 수익률 (after tax rate)이 같아야 함을 나타낸다.

$$ r_{t}^{b}=\left(1-\tau_{t}^{k}\right) r_{t}  $$

 

 

모델 내 모든 종속 변수 (endogenous variables)의 역학 (dynamics)은 시간이 지남에 따라 변화 (non-stationary)하는데, 이는 인구 (population)와 총생산성 모두 시간에 따라 성장하기 때문이다.

 

 

 

 

[연금 관련 측도]

여기까지는 OLG 모형을 분석하기 위한 초석이라고 한다면, 실제로는 분석이 중요하다. 이제는 PL, PS, PSEP 등의 정의에 대해서 이야기해 보려고 한다.

 

정의 (Pension Limit; PL)
초기 자산의 총합 $K_0 + B_0$, 경제 인구 구조 $\left(n_t, \left(\mu_t^s\right)_{s=1}^{T}, \left(\phi_t^s\right)_{s=1}^{T}\right){t=0}^{\infty}$ , 정부의 재정 정책 $\left(\tau_{t}^{c}, \tau{t}^{k}, G_{t}, Tr_{t}, B_{t+1}\right)_{t=0}^{\infty}$이 주어진 상황에서, 연금 한도 PL은 sequence of relative price $\left(w{t}, r_{t}\right)_{t=0}^{\infty}$와 allocation $\left(\left(c{t}^{s}, l{t}^{s}, a_{t+1}^{s}\right){s=1}^{T}\right)_{t=0}^{\infty}$로 주어지는 경쟁적 균형 (Competitive equilibrium) 이다.

이 균형은 $t \geq 0$인 경우에 각 sequence 들이 만족해야 하는 조건 하에서 성립하게 된다.

이때 정의에서 강조하는 두 가지 특징은 다음과 같다. 즉 PL 이라는 것이 **“균형”**으로 도출이 된다는 것이라고 간단하게 생각하면 된다.

• 첫째, PL은 사회 보안 예산이 완전히 내생적인 경쟁적 균형으로 계산된다는 것이다. PL 계산에는 $\tau_{t}^{p}$ 나 $\theta_{t}$ 같은 세금 요소가 정의 2에서 주어진 재정 정책 도구 집합에 포함되지 않는 이유이다.
• 둘째, 소득세율 $\tau_{t}^{w}$ 역시 정부가 사용할 수 있는 재정 정책 도구 집합에서 제외된다. $u_{t}^{w}, G_{t}, Tr_{t}$ ,$B_{t+1}$ 중 하나의 도구가 조정되고, $\tau_{t}^{w}$ 를 사용하고 정의 2에 따라 "PL"을 계산하면, 노동 소득 과세를 제외한 다른 모든 정부 지출 및 수익 원천이 주어졌을 때 집계 연금 지출과 그 상한을 직접적으로 비교할 수 있다.
• 이 해결책을 보장하기 위해 일반 정부 예산은 최적화 문제에서 제한 조건으로 취급된다. 따라서 "PL"은 일반 정부 예산 크기를 변경하지 않으면서 $\tau_{t}^{p}$를 증가시켜 정부가 달성할 수 있는 최대 사회 보장 예산의 크기를 나타낸다.

이는 일반적인 라퍼 효과와 다른데, 일반 정부 예산의 지출면이 세 수입의 증가로 인해 확장되는 것과는 다르다. PL이 주어지면, 연금 지출 가능한 공간을 결정한다.

 

정의 (Pension Space; PS)
연금 지출 $Pen_{t}$과 연금 한도 $PL_{t} \equiv \overline{Pen}_{t}$ (둘 다 정의 1과 2에 따라 결정됨)에 대해 연금 공간 $PS_{t}$는 다음과 결정
$$ PS_{t}=100\left(\overline{Pen}_{t}-Pen_{t}\right) / \overline{Pen}_{t} $$

• PS는 “연금 한도 PL”과 “연금 지출 균형 수준”과의 차이를 백분율로 표현한 것.
• 따라서 PS는 경제가 PL에 얼마나 가까운 지를 보여주며, 동시에 다른 정부 지출 및 수입 원천을 변경하지 않고도, 노동 소득 과세를 조절하여 공공 연금을 어느 정도로 지원할 수 있는 지를 나타내기도 한다.
• PS는 정의 1과 2에서 가정한 경제의 인구 구조에 조건을 두기 때문에 인구 구조의 변화에 따라 달라질 수 있다. 따라서 다양한 인구 예측 범위에서 PS를 계산할 수 있으며, 이 계산된 범위는 미래 시점에서의 PS의 분포를 맞추는 데 사용된다.
• 또한, 이 추정된 분포로부터 얻은 누적 밀도 함수를 통해 PS가 0일 확률, 즉 **연금 공간 고갈 확률 (PSEP)**을 예측 할 수 있다.

 

정의 (연금 공간 고갈 확률, PSEP)
미래 시기 $t \geq 0$와 $h \geq 1$ 에 대한 인구 구조 $H\left(n_{t+h},\left(\mu_{t+h}^{s}\right)_{s=1}^{T},\left(\phi{t+h}^{s}\right)_{s=1}^{T}\right)$가 주어진다. $G\left(P S_{t+h}\right)$ 는 해당하는 연금 공간 분포이다. 이때, 연금 공간 고갈 확률은 다음과 같이 정의

$$ (P S E P \equiv \operatorname{Pr}\left(P S_{t+h} \leq 0\right)=\operatorname{Pr}\left(\overline{\operatorname{Pen}}_{t+h}-\operatorname{Pen}_{t+h} \leq 0\right) $$

• 계산은 다음과 같이 한다. 미래 시기 $h \geq 1$에 대한 인구 성장률 $n_{t+h}$, 인구 구성 비율 $\left(\mu_{t+h}^{s}\right){s=1}^{T}$및 생존 확률 $\left(\phi{t+h}^{s}\right){s=1}^{T}$의 한정된 범위를 고려한다. 정의 3을 사용하여 각 t+h에 대한 $P S{t+h}$를 계산할 수 있다.
• 계산된 $P S_{t+h}$의 집합은 이후 t+h의 연금 공간의 경험적 분포를 추론하는 데 사용될 수 있다. 그런 다음 누적 밀도 함수에서 추정된 고갈 확률을 계산할 수 있다.