Interest Rates under Falling Stars 1

 

 

Falling star라니 !

 

기존의 수익률 곡선을 다룰 때에는 거시적인 fundamental 들은 잘 다루지 않았고, 이론 분석과 실증 분석 모두 거시 fundamental를 봐야하는 것에 대해서 뚜렷한 consensus가 형성이 되어있지는 않았다.

 

그 이유를 조금 뜯어보면, 각자의 영역에서 충실하느라, 이를 ’연결’시키는 것에 대해서 간과해 왔기 때문이다. (거시-금융 (Macro-Finance) 분야는 경제 여러 분야 중 가장 발전이 더딘 두 분야라고..) 그러다가 거시-금융을 연결시켜서 설명하는 모형이나 실증 분석이 나오고 있는데, 모두 각자의 분야에서 한걸음 더 나아갈 수 있었다고 한다. (그럴 거면 미리 하지)

 

 

 제목 : Interest Rates under Falling Stars
저자 : Michael D. Bauer & Glenn D. Rudebusch
저널 : AER (2021) 

 

이번 논문은 Macro-Finance 관련 내용을 다룬다. 거시 경제에서는 인플레이션과 이자율을 ‘추정’하고, 금융 경제에서는 이런 거시 경제 추세를 이자율에 반영하고 있다. 즉, (1) 추세 인플레이션(trend inflation)과 (2) 균형 실질 이자율(equilibrium real interest rate)이 ‘수익률 곡선(yield curve)’의 기본적인(fundamental) 결정 요인이라고 본다.

** 시간 가변적인 장기 평균 (time-varying long run means)와 이자율 (stochastic trends) 사이의 연결

 

 

이자율에 대한 ‘추세’의 중요성을 두 단계로 측정

 

(1) 변동 요인을 나타내는 proxy 변수를 사용해서 ‘거시 경제’와 ‘이자율 추세’에 대한 기본적인 사실 잡아내기

→ 간단하게 ‘추세’가 변동을 실제로 잡아낼 수 있다는 것을 먼저 확인해야 한다는 말

(2) “확률적” 이자율 추세를 포함해서, 새로운 동적 이자율 구조 모형을 설계

→ 여기가 진짜 금융 분야에서의 모형 설계

 

 

이 논문의 의의는, 기존에 있던 ‘이자율 기간 구조 모형’ 실증 분석에서 했던, 기본적인 fundamental들이 ‘일정 (constant)’하다고 가정을 깨고, 뛰어 넘었다는 점이다. 실제로 장기적 추세의 ‘시간 변동성’을 고려하는 것이 국채 금리의 dynamic을 이해하고, 초과 채권 수익 (excess bond return)을 예측하는데 매우 중요하다. 따라서, 이번 논문은 1) 이자율 결정에 장기적 추세가 어떤 역할을 하는지 포착하는 보고 2) ‘arbitrage-free 모형’을 통해 설명한다. 나아가 3) $\pi_t^*$ 와 $r_t^*$ 가 기간 구조 (term structure) 모델링에 필수적이라는 것을 보이며, 이를 활용해 4) bond risk premia를 추정하고, 5) 수익률을 예측한다.

 

 

[Finance : 이자율 이론 및 추정]

 

(이론적 배경) 현대에는 이자율에 대한 finance theory에서 기간 프리미엄은 ‘시간에 따른 변동성(time-varying)’을 보인다는 점을 명시적으로 모델링 한다.

 

step1. 이자율 추세

먼저 이자율 추세를 살펴볼 수 있다. 이자율 추세(trend)는 이자율 $y_{t}^{(n)}$로 나타내고, n은 기간을 의미한다. 이때, 이자율 추세는 ‘(1) **단기 기대 수익률 (short-term rates)’**과 (2) ‘기간 프리미엄(term premium) $T P_{t}^{(n)}$’ 로 쪼개서 볼 수 있다.

 

$$ y_{t}^{(n)}=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} E_{t} i_{t+j}+T P_{t}^{(n)}=i_{t}^{*}+\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} E_{t} i_{t+j}^{c}+T P_{t}^{(n)} $$

• $T P_{t}^{(n)}$는 기간 프리미엄으로, 장기채에 투자할 때 생기는 듀레이션 위험을 말한다. 이 위험에는 유동성 위험과 금융 마찰 위험을 담고 있다.
• 단기 사이클 $i_{t}^{c}=i_{t}-i_{t}^{*}$
• 균형 단기 이자율 $i_{t}^{*}$

 

 

step2. 확률적 (stochastic) 추세

이제부터는 계속 stochastic trend concept을 다룰 것이다.

명목 이자율(nominal yields)은 이 추세의 ‘변동’에 의해 영향을 받게 된다. 단기 명목 이자율에서 Beveridge-Nelson 로 그려본 추세 $i_{t}^{*}$ 는 즉, stochastic trend 개념으로 설명한 것이고, 시간 추세가 deterministic 하지 않다고 가정을 한다.

 

$$ i_{t}^{*} \equiv \lim {j \rightarrow \infty} E{t} i_{t+j} $$

• 이 추세가 시간에 따라 변하는 경우, 수익률은 common trend를 가지는 비정상적인 (non-stationary) 상태가 된다. 이때 $i_t^*$ 를 “shifting endpoint”라고 부른다.

 

 

step3. 명목 이자율 잡아내는 방법 (거시 데이터 활용)

이제 또 다른 관점으로 $i_t$ 를 설명해 보자.

$$ i_{t}=r_{t}+E_{t} \pi_{t+1} \quad \Rightarrow \quad i_{t}^{}=r_{t}^{}+\pi_{t}^{*} $$

 

 

 

Fisher 방정식은 두 가지 거시 변수 (1) 인플레이션과 (2) 실질 이자율의 추세가 이 endpoint 을 결정한다고 말한다.

• 따라서, 인플레이션 또는 실제 이자율에 장기 경향성을 보이는 구성 요소가 있다면, 명목 이자율도 이러한 매크로 변수의 추세에 의해 결정이 될 것이다.

 

 

(추정) 이제는 명목 이자율의 추정이 필요함을 알았고, 거시 경제 변수를 이용해서 이를 도출할 수 있다. 우선 각 거시 경제 변수를 어떻게 measure하는지 알아야 한다.

• ($\pi_{t}^{*}$ measure) 장기 인플레이션의 추세는 I(1) process를 따른다고 보고, 기대 인플레이션의 변화를 포착하며, time-varying $\pi_{t}^{*}$는 중앙 은행의 target 이 되기도 함
  • 따라서 이 추세의 대리변수로 PTR (Perceived target rate) 활용
• ($r_t^*$ measure) 추정치는 베이지안 방법을 활용하여 식별한 시계열 모형의 장기 실질 이자율 추세로, state-space linear 모형인 DGGT (2017), shadow rate를 활용해서 비선형 상태 공간 모형 (JP; Johannsen and Mertens)를 추정한다.

 

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[Macro : 거시 경제와 수익률]

이제는 금융 변수인 ‘이자율 추세’ 속에 거시 변수를 넣으면 더 잘 설명할 수 있는지에 대해서 답해야 할 때이다. 따라서, 다음으로는 ‘거시 경제’(인플레이션, 실질 이자율)의 추세가 ‘이자율’을 지속성 있게 설명할 수 있는지를 확인을 하게 된다. ‘인플레이션’ 추세만을 고려하는 것이 충분한지, 아니면 ‘실질 이자율’ 추세 또한 명목 채권 수익률의 움직임에 실질적으로 기여를 할 수 있는지를 알아야 한다.

이때, 위에서 다룬 것처럼 거시 경제 추세의 대리 변수로 $\pi_{t}^{}$ PTR 나, $r_{t}^{}$의 세 가지 ** 추정치를 사용하게 되며, $i_{t}^{*}$는 이들의 합으로 나타낸다.

• ** (1) 필터링된 추정치의 평균, (2) 6가지 실시간 추정치의 평균, (3) 실질 이자율의 지수 가중 이동 평균

 

step1. 모형 및 추정 ( $\pi_t$ 와 $r_t$ )

$\pi_t$ 와 $r_t$ 의 공적분 관계 (cointegration relationship)를 확인하고, 각 요소들의 개별적인 contribution을 확인하기 위해서 다음과 같은 회귀분석을 하려고 한다.

 

$$ y_{t}^{(40)}=\beta_{0}+\beta_{1}^{\prime} X_{t}^{}+u_{t} $$

• $y_{t}^{(40)}$ 는 10년 수익률
• $X_{t}^{*}$ one or two macro trend proxies
• $u_{t}$ stationary residual under cointegration
• Dynamic OLS estimator로 추정
• 이때, 공적분 잔차(cointegration residual) $u_t$ 에는 파악할 수 있는 (discernible) 추세가 없으며, 이것은 $i_{t}^{*}$의 변화가 적절하게 조절된 경우 10년 만기 국채 수익률의 추세를 완전히 잡아낼 수 있음을 의미

10년 만기 미국 국채 수익률 & (대리 변수로 추정한) 균형 이자율 i_t^* ​

(그림 해석) 10년 만기 이자율 (검정색) 과 비교했을 때, 직접 추정한 series는 훨씬 더 덜하게 추세를 보이는데, 샘플 끝부분에서는 초반 1980년대에 따라가던 것보다 절반 이상 줄어드는 모습을 볼 수 있다.

• 그럼에도 불구하고 이 간단한 차이에는 주목할 만한 추세가 남아 있는데, 이는 이 이자율의 추세 성분이 $i_{t}^{*}$ 와 일대일로 움직인다는 것
• 정의상, 이자율의 기대 성분은 $i_{t}^{}$와 일대일로 움직이므로 10년 만기 이자율의 추세 성분은 $i_{t}^{}$와 양의 상관 관계를 가진 추세 성분을 포함해야 한다.
• 이 관계를 고려하기 위해 두 번째 추세를 제거한 series는 이자율을 $i_{t}^{*}$에 대한 공적분 회귀분석의 잔차로 정의

 

step2. Excess bond returns

다음으로는, ‘거시 경제의 추세’가 미래의 초과 채권 수익률을 예측하는 데 도움이 되는지 아는 것이 선행되어야 한다. 그래야 이를 활용하든지 말든지 할 수 있으니까. 만기 n의 초과 수익률을 다음과 같다.

 

$$ r x_{t+1}^{(n)} \equiv p_{t+1}^{(n-1)}-p_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)}=-(n-1) y_{t+1}^{(n-1)}+n y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)} $$

• $p_{t}^{(n)}$ 는 제로쿠폰 채권의 log 가격

 

던져야 하는 핵심 질문은 “미래 수익률을 예측할 때, 현재의 수익률 곡선이 이를 설명할 필요한 모든 정보를 포함하고 있는지” 여부, 즉 범위 가설(spanning hypothesis)이 성립하는지 여부이다.

• Cieslak과 Povala(2015)는 ‘인플레이션 추세’를 대표하는 변수를 하나 추가하니 예측력이 크게했다는 것을 통해 spanning 가설을 위반되었음을 알 수 있다.

초과 채권 수익률을 예측하기 위한 회귀분석에서, $\pi_{t}^{}, r_{t}^{} ,i_{t}^{*}$를 포함시키는 것이 도움이 되는지 안 되는지 확인할 수 있다.

 

 

2년 만기부터 15년 만기까지의 초과 수익률을 예측하고 평균한 1분기 초과 수익률을 예측

여섯 가지 다른 예측 회귀분석을 reporting 한 표인데, 첫번째 열은 주성분 (PC1, PC2, PC3)만 포함한다. 두번째부터는 거시 변수를 하나씩 더 포함해서 추세에 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있다. (두 개의 표가 있는 이유는, robustness check를 위해 기간을 달리 잡고 봄)

• 이때, 인플레이션 추세를 추가하면 수익률 곡선 정보 **만 이용하는 것보다 예측력이 크게 향상되고, 이자율 추세도 마찬가지 이다. ($R^2$ 가 상당히 증가)
  • ** PC1은 수익률 곡선 level, PC2는 수익률 곡선 slope, PC3는 수익률 곡선의 curvature. (PC1이 가장 powerful한 예측력을 가짐)
  • 곡선의 기울기(PC2)의 계수는 수익률 곡선 수준(PC1)의 계수보다 크다는 점을 알 수 있다. 즉, 이는 수익률의 추세 구성 요소가 $i^∗_t$의 변화에 일대일 대응해 볼 때, 그 이상으로 더 많이 움직인다는 것
• 2열을 보고, 마지막 6열을 살펴보자. $i_t^*$ 하나를 추가했는데 설명력이 매우 높아졌다. $\pi_{t}^{*}$ 와 $r_t^*$ 의 수는 거의 유사한데 (cointegration regression), 이 사실을 반영해서 $i_{t}^{*}$ 하나만으로 관련된 정보를 포착할 수 있다는 것을 보여준다.
• 다만, 1985년부터 시작하는 sub샘플에서는 인플레이션 추세 자체가 통계적으로 유의하지 않다는 점도 확인 가능하다. 다만, 실질금리 추세를 추가
• 균형 실질금리 추세를 추가하면, $\pi_t^*$와 PC1의 계수가 두 배 이상 증가하고 $R^2$ 도 상당히 증가하게 된다.

즉, 실질 금리의 추세가 인플레이션 추세만큼 중요하고, 최근에는 더더욱 중요해지고 있다는 점을 다시 확인해 볼 수 있다.

 

(1)에서 예측 변수는 관찰된 수익률의 PC1, PC2, PC3, (2) 추세를 제거한 수익률의 PC1, PC2, PC 3 (수익률 회귀분석에서 잔차)