Valuation Formulas (Pricing) and Equilibrium 2

균형 모형 및 가치평가범함수
Reference : 최병선 Introduction to Financial Engineering

 

이 흐름은 금융 경제학을 공부하려면 꼭 알아야 할 기본적인 framework이다. 산발적으로 발전해 온 논문들을 너무 잘 정리를 해두어서 한번 머리속에 틀을 잡으면 그다음 논문 읽을 때에는 살을 덧붙이면서 읽으면 좋을 것 같다. 

 

 

[모형의 경제 Enviornemnt]

 

이 경제에서는 소비자가 기대효용을 최대화 하고자 하며, 시장에서 교환을 통해 소비재 / 금융상품의 양을 조절하고, 최적의 소비를 실현하는 경제이며, 가장 기본적인 2기간 모형을 통해 살펴보고자 한다.

 

(가계 주체) 시장에 참여하는 각 개인은 투자자이자 소비자이며, M명의 소비자가 있고, $m(\in\{1,2, \cdots, M\})$

 

(시점) $t_{0}<t_{1}<t_{2}$ , 제0기는 $\left[t_{0}, t_{1}\right)$, 제1기는 $\left[t_{1}, t_{2}\right)$

• 1기의 경제 상태 $\Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{S}\right\}$
• m번째 소비자는 경제상태 $w_s$ 가 실현된 확률이 $\pi_{s}^{(m)}$라고 생각한다. (재미있는 점은, 이때의 확률은 주관적이라는 점이다.)

$$ \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)}=1 \quad \pi_{s}^{(m)}>0 $$

 

 

(초기조건) 초기 시점 $t_0$에서 제m번째 소비자의 부는 $W_{0}^{(m)}$ 로 외생적으로 주어짐

 

(교환 경제) 소비자는 시장에서 다른 소비자와 금융상품과 소비재를 자유롭게 교환 가능

• 시장에는 소비재와 수급이 일치하는 시장청산 (Market clearing) 가격이 있고, 각 소비자는 예산제약 내에서 효용이 최대가 되도록 소비재와금융 상품의 양을 조절
• 제0기 동안 소비하는 액수를 $c_{0}^{(m)}$ , 제0기에 소비하고 남는 금액 $W_{0}^{(m)}-c_{0}^{(m)}$ 은 금융 상품에 투자하고, $t_1$ 시점에 $W_{1}^{(m)}$ 을 얻게 된다.
• 이때, $W_{1}^{(m)}$ 는 실현되는 경제 상태에 따라 다른 수익을 내므로, 확률변수이다.
  • 이 경제에서 금융상품은 주식, 무위험채권이 있고, 현재시점 $t_0$ 에서 소비재 1단위의 가격은 1이라 가정

• 제n번째 소비자의 효용함수 $u^{(m)}\left(c_{0}^{(m)}, W_{1}^{(m)}\right)$이며, u(.) 는 각 독립변수에 대해서 강단조증가, 오목함수, 연속 미분이 가능한 함수로 가정한다.

 

(기업의 가치) 제1기에 경제상태 $w_s$ 가 실현된 경우, 제 n번째 기업의 가치를 $z_s^{(m)}$ 이라고 하자.

• 기업이 발행한 주식을 무한히 분할할 수 있다고 가정하면, 각 기업이 발행한 주식 수가 1 주라고 가정
• 미래 시점 $t_1$의 경제상태 $ω_s$에서 제 n 번째 기업의 가치 $z_s^{(n)}$는, 미래 시점 $t_1$에서 생산하는 금융상품 가치 $d_s^{(n)}$

 

(미래시점 가치벡터) 미래 시점 가치 행렬 $D=[d_s^{(n)}]$의 제 s 번째 행 벡터 $d_s$는 경제상태 $ω_s$가 실현되었을 때 기업 가치들을 나열한 것이고, 제 n 번째 열 벡터 $d^{(n)}$은 제 n 번째 기업의 경제 상태에 따른 가치들을 나열한 것

• 음(negative)인 수익을 초래하는 금융상품이 존재한다고 해도, 그 금융상품을 자유롭게 파기할 수 있으며, 벡터 $d^{(n)}$의 각 원소는 비음(nonnegative)
• (수익률) $t_0$에서 제 n 번째 기업의 가치는 $a^{(n)}$, 정의한 대로, 기업들의 가격 벡터는 $a=[a^{(1)}, a^{(2)}, ..., a^{(N)}]’$ 이다. 총 수익률 $R_s^{(n)}=d_s^{(n)} / a^{(n)}$을 배열한 미래 시점 t_1에서의 총 수익 행렬

$$ R \doteq\left[\begin{array}{cccc}R_{1}^{(1)} & R_{1}^{(2)} & \cdots & R_{1}^{(1)} \\R_{2}^{(1)} & R_{2}^{(2)} & \cdots & R_{2}^{(N)} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\R_{S}^{(1)} & R_{S}^{(2)} & \cdots & R_{S}^{(N)}\end{array}\right] $$

 

$$ R=D \Lambda_{a}^{-1}, \Lambda_{a} \triangleq\left[\begin{array}{ccc} a^{(1)} & & 0 \\ &a^{(2)} & \\ & \ddots & \\ 0 & & a^{(N)} \end{array}\right] $$

• 행렬 $\Lambda_{a}$ 는 대각 원소들이 $a^{(1)}, a^{(2)}, ..., a^{(N)}$ 인 N차원 대각행렬 $\Lambda_{a} \doteq \operatorname{diag}\left(a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(N)}\right)$ 이 된다.

 

(소비자의 포트폴리오 구성) 제 m번째 소비자가 각 기업에 대한 지분 비율을 나타내는 제m번째 소비자의 제n번째 기업의 ‘지분비율벡터’는 $\boldsymbol{w}^{(m)} \doteq\left[w^{(m, 1)}, w^{(m, 2)}, \cdots, w^{(m, N)}\right]^{t}$이 된다.

 

$$ \sum_{m=1}^{M} w^{(m, n)}=1, \quad(n=1,2, \cdots, N) $$

 

 

(예산 제약)

• 제 n 번째 기업의 현재 시점 $t_0$에서 주가는 $a^{(n)}$이므로 제 m 번째 소비자의 투자 계획에 필요한 예산은 $a^T w^{(m)} = Σₙ w^{(m, n) }a^{(n)}$
• 미래 시점 $t_1$에서 경제 상태 $ω_s$가 실현될 때, 제 n 번째 기업의 가치 $d_s^{(n)}$에서 제 m 번째 소비자가 보유한 가치는 $w^{(m, n)} d_s^{(n)}$
• 미래 시점 $t_1$의 경제 상태 $ω_s$에서 N개의 기업 가치 중에서 제 m 번째 소비자가 보유하는 기업 가치의 합은 $w_s^{(m)}$

$$ w_s^{(m)} = Σₙ w^{(m, n)} d_s^{(n)}(s=1,2, ..., S) $$

• 이제 제 m번째 소비자의 예산제약 식이다.

$$ c_{0}^{(m)}+\sum_{n=1}^{N} w^{(m, n)} a^{(n)} \leq W_{0}^{(m)} $$

 

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[모형 해 찾기 - 최적화 문제]

 

step1. 제 m번째 소비자의 기대효용

 

$$ \max \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} u^{(m)}\left(c_{0}^{(m)}, w_{s}^{(m)}\right) $$

 

$$ \text { s.t. } \underbrace{\sum_{n=1}^{N} w^{(m, n)} d_{s}^{(n)}=w_{s}^{(m)}, \quad(s=1,2, \cdots, S)}_{t_1 의 \ 경제상태 \ w_s 에서 \ wealth} \\ \underbrace{c{0}^{(m)}+\sum_{n=1}^{N} w^{(m, n)} a^{(n)}=W_{0}^{(m)}}_{예산제약} $$

 

이때, 라그랑지안 함수는 다음과 같다.

 

$$ L \doteq \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} u^{(m)}\left(c_{0}^{(m)}, \sum_{n=1}^{N} w^{(m, n)} d_{s}^{(n)}\right)+\gamma^{(m)}\left[W_{0}^{(m)}-c_{0}^{(m)}-\sum_{n=1}^{N} w^{(m, n)} a^{(n)}\right] $$

 

 

 

step2. 최적화 문제의 f.o.c. 를 도출하면 다음과 같다.

 

$$ \begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial c_{0}^{(m)}}=\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}}-\gamma^{(m)}=0 \\\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial w^{(m, n)}} & =\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial w_{s}^{(m)}} \frac{\partial w_{s}^{(m)}}{\partial w^{(m, n)}}-\gamma^{(m)} a^{(n)} \\& =\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial w_{s}^{(m)}} d_{s}^{(n)}-\gamma^{(m)} a^{(n)}=0, \quad(n=1,2, \cdots, N)\end{aligned}\end{array} $$

 

$$ \Rightarrow \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}}=\gamma^{(m)} $$

 

 

여기서 위에 도출된 곳에서 $\gamma$를 제거하면,

$$ \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial w_{s}^{(m)}} d_{s}^{(m)}=\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}} a^{(n)} $$

 

$$ \sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)} \frac{\frac{\partial u^{(m)}}{\partial w_{s}^{(m)}}}{\sum_{n=1}^{S} \pi_{r}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}}} d_{s}^{(n)}=a^{(n)}, \quad(n=1,2, \cdots, N) $$

• 이때, m번째 소비자의 $w_s$ 상태에서의 소비와 $c_0^{(m)}$의 한계대체율 MRS를 정의하면 다음과 같고, 이를 $M_{s}^{(m)}$ 이시점간 한계대체율 (intertemporla marginal rate of substitution; IMRS)라고 정의하자.

$$ M_{s}^{(m)} \doteq \frac{\frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{s}^{(m)}}}{\sum_{r=1}^{S} \pi_{r}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}}}, \quad(s=1,2, \cdots, S) $$

 

 

step3. $M_{s}^{(m)}$ 를 정의하고, $c_{s}^{(m)}=w_{s}^{(m)}$라 하면, 이제 위의 식을 다시 쓸 수 있다.

 

$$ \underbrace{\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}^{(m)}}_{prob} M{s}^{(m)} d_{s}^{(n)}=a^{(n)}, \quad(n=1,2, \cdots, N) \\ \Rightarrow E_{\pi}^{(m)}\left(\tilde{M}^{(m)} d^{(n)}\right)=a^{(n)}, \quad(n=1,2, \cdots, N) $$

• $E_{\pi}^{(m)}(\cdot)$ 은 제 m 번째 소비자의 주관적 확률질량함수 $\{\pi_{s}^{(m)}\}$에 의한 기대값 연산자
• $\tilde{M}^{(m)}$은 소비의 한계대체율 $\{M_{s}^{(m)} \mid s=1,2, \cdots, S\}$를 나타내는 확률변수이며, $d^{(n)}$은 경제 상태에 따른 제 n 번째 기업가치들 $\{d_{s}^{(n)} \mid s=1,2, \cdots, S\}$를 나타내는 확률 변수

 

step4. 각 경제상태 s에 대해서,

 

$$ d u^{(m)}\left(C_{0}^{(m)}, w_{s}^{(m)}\right)=d u^{(m)}\left(C_{0}^{(m)}, C_{s}^{(m)}\right) = \frac{\partial u^{(m)}}{\partial C_{s}^{(m)}} d C_{0}^{(m)}+\frac{\partial u^{(m)}}{\partial C_{s}^{(m)}} d C_{s}^{(m)} $$

 

$$ d u^{(m)}=\sum_{r=1}^{S} \pi_{r}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}} d c_{0}^{(m)}+\frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{s}^{(m)}} d c_{s}^{(m)} \\= \sum_{r=1}^{s} \pi_{r} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}} d c_{0}^{(m)} + \frac{\partial c^{(m)}}{\partial c_{s}^{(n)}} d c_{s}^{(s)} $$

 

이때, 한계효용 $d u^{(m)}=0$ 이면,

$$ -\frac{d c_{0}^{(m)}}{d c_{s}^{(m)}}=\frac{\frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{s}^{(m)}}}{\sum_{r=1}^{S} \pi_{r}^{(m)} \frac{\partial u^{(m)}}{\partial c_{0}^{(m)}}} =M_{s}^{(m)}, \quad(s=1,2, \cdots, S) $$

• (의미) 제 m번째 소비자가 미래시점 $t_1$의 경제상태 $w_s$에서 소비 1단위를 감소하는 대신, 현재시점 t_0에 소비를 $M_s^{(m)}$ 단위 증가시키면, 소비자의 효용 수준은 변함이 없다.
  • 다른 관점, $M_s^{(m)}$ 는 미래시점 $t_1$의 경제상태 $w_s$에서 소비 1단위가 현재시점 $t_0$에서 어느정도의 가치를 가지는가

 

step5. 이제는 **소비자를 나타내는 (m)도 사라지게 된다.

$$ 0<M_{i}^{(m)}<1, \quad(s=1,2, \cdots, S) $$

 

경제상태 $\omega_{s}$ 가 발생할 제 m번째 소비자의 주관적 확률 $\pi_{s}^{(m)}$와 한계대체율 $M_{s}^{(m)}$의 곱을 다음과 같이 표기하게 된다.

$$ \phi_{s}^{(m)} \doteq \pi_{s}^{(m)} M_{s}^{(m)}, \quad (s=1,2, \cdots, S) $$

$$ \phi^{(m)} \doteq \left[\phi_{1}^{(m)}, \phi_{2}^{(m)}, \cdots, \phi_{S}^{(m)}\right]^{t}  $$

 

주간적 확률 $\pi_{s}^{(m)}$가 양수라는 가정에 의해서, $\phi^{(m)}>0$ 이며,

$$ \sum_{s=1}^{S} d_{s}^{(n)} \phi_{s}^{(m)}=a^{(n)}, \quad(n=1,2, \cdots, N) $$

 

미래 시점 $t_{1}$ 에서 경제상태 $\omega_{s}$가 실현되었을 때 소비 1 단위 당 소비자에게 중가되는 효용을 현재 시점 $t_{0}$ 에서 소비로 평가할 때, $M_{s}^{(m)}$ 가 도니다

• 미래 시점 $t_{1}$에서 경제상태 $\omega_{s}$가 실현되었을 때, 제 n 번째 기업의 가치 $d_{s}^{(n)}$ 를 현재 시점 $t_{0}$ 의 가치로 환산하면 $(\phi_{s}^{(m)} d_{s}^{(m)})$ 가 됩니다.

 

 

[기업가치 평가식 Valuation Formulas]

(기본 식)

$$ \underbrace{v_{t}}_{\text {Value at time } t}=\underbrace{e^{-r(T-t)}}_{\text {Discount }} E_{\psi}(\underbrace{V_{T}}_{\text {Value at time } T}) $$

 

step1.

상태가격벡터의 정의는 다음과 같이 한다. (아래의 식은 그냥 외워두면 된다)

$$ a=D^{\prime} \red{\phi^{(m)}}, \quad \phi^{(m)}>0 $$

$$ \Rightarrow a=\Lambda_{a} R^{\prime} \phi^{(m)} $$

$$ R^{\prime} \phi^{(m)}=\Lambda_{a}^{-1} a=1_{N} (n차원 \ 벡터) $$

소비수익률은 현재 시점 $t_{0}$ 의 금융상품가치 1 당 미래 시점 $t_{1}$에서 얻는 수익이다. 이 수익을 $\phi^{(m)}$을 사용해서 현재 시점 $t_{0}$ 에서 가치로 전환하면, 각 금융상품은 1의 가치를 갖게 된다.

• 이 $\phi^{(m)}$ 은 미래 시점 $t_{1}$에서 가치 $d^{(n)}$ 을 현재 시점 $t_{0}$ 에서 가치 $a^{(n)}$ 에 대응시키는 가치평가범함수(pricing functional)
• ** 일반적으로 함수를 수치에 대응시키는 사상을 범함수(functional)라고 하고, 함수를 함수에 대응시키는 규칙을 작용소(operator)
  • 표본 집합 $\Omega$에 속하는 기본 사상, 즉 표본 점 $\omega_{s}$ 가 하나의 경제 상태를 나타내며, 이 표본 점 $\omega_{s}$ 를 고정하면 하나의 표본 함수 값, 즉 기업 가치 $d_{s}^{(n)}$ 이 결정

 

 

step2. 포트폴리오 가치평가

이 가치평가범함수
$\phi^{(m)}$ 을 사용해서, 각 금융상품의 현재시점 $t_{0}$에서 가치뿐만 아니라, 포트풀리오의 가치도 평가 가능하다.

• 금융상품들의 보유단위 포트폴리오 $x = [x^{(1)}, x^{(2)}, \cdots, x^{(N)}]^t$
• 미래시점 $t_{1}$ 에서 경제상태가 $\omega_{s}$인 경우, 이 포트폴리오의 가치는 $\sum_{n=1}^{N} x^{(n)} d_{s}^{(n)}$
• 미래시점 $t_{1}$ 에서 이 포트풀리오 가치는 S 차원 열벡터 $D\mathbf{x}$ ,

$$ [\boldsymbol{\phi}^{(m)}]^t[D \mathbf{x}] = \left\{[\boldsymbol{\phi}^{(m)}]^t D\right\} \mathbf{x} = \mathbf{a}^{\prime} \mathbf{x} $$

 

• 포트폴리오 가치는 그 구성요소인 개별 금융상품이 만들어내는 미래시점 $t_{1}$ 에서의 수익들 $\left\{\left[\mathbf{d}^{(n)}\right]^{\prime} \hat{\boldsymbol{\phi}}^{(m)} = a^{(n)} \mid n=1,2, \cdots, N\right\}$ 의 선형결합

$$ \mathbf{a}^{\prime}\mathbf{x} = [\boldsymbol{\phi}^{(m)}]^{\prime}[D \mathbf{x}] > 0 $$