Valuation Formulas (Pricing) and Equilibrium 1

균형 모형 및 가치평가범함수
Reference : 최병선 Introduction to Financial Engineering

 

이 흐름은 금융 경제학을 공부하려면 꼭 알아야 할 기본적인 framework이다. 산발적으로 발전해 온 논문들을 너무 잘 정리를 해두어서 한번 머리속에 틀을 잡으면 그다음 논문 읽을 때에는 살을 덧붙이면서 읽으면 좋을 것 같다. 

 

1. 일반균형이론 (General Equilibrium Theory ; Walrasian general equilibrium)

개별 시장의 현상들을 다루기보다는, 전체 거시경제 (macroeconomy의)가 어떻게 상호작용 하면서 작동하는 지를 설명한다.

• 일반 균형은 공급(supply)과 수요(demand)가 상호작용 (interact)하고, 동시에 여러 시장이 있는 경제에서의 균형을 다룬다.
• ‘일반’ 균형은 ‘거시 경제’를 다룬다고 했는데, 이와 달리 ‘부분’ 균형 이론( partial equilibrium theory)은 특정 개별 시장을 중심으로 본다.
• 서로 다른 시장에서 경쟁을 통해 수요와 공급의 균형을 보여주는데, 이들은 궁극적으로 ‘**가격 균형(price equilibrium)’**을 만들어 낸다.

 

현대 일반균형의 핵심적인 바탕은 1950년대에 등장하기 시작한다.

• the Arrow–Debreu model (Hicksian theory)
  • Debreu (Theory of Value;1959)는 "가치 이론(Theory of Value)"에서 공리적 (axiomatic)인 모델 (수학적으로)로 제시했으며, **일반균형의 존재성 (existence)**를 증명
  • 구체적으로, A-D 모형은 일정한 경제적 가정 (convex preferences, perfect competition, demand independence) 하에서는, 모든 상품에 대한 총공급량 (aggregate supplies)이 모든 상품에 대한 총수요(aggregate demands)와 일치하는 ‘가격 집합’(set of prices)이 존재해야 한다는 것을 제안

 

• McKenzie model (Walrasian theory)

 

여기서 이론이 세 가지 중요한 기준점이 있다.

1. ‘상품’은 그들이 전달이 되는 장소(location)에 의해서 구분이 된다고 가정해 보자. Arrow-Debreu 모형은 국제무역과 같은 공간 모형 (Spatial model)이 된다.
2. ‘상품’이 그들이 ‘언제’ 배달이 되는지에 의해서 구분이 된다고 가정하자. 모든 시장이 초기 시간에 균형에 도달한다고 가정하고, 경제 주체들의 마치 선물처럼 특정한 계약(contract)를 사고 판다. 이때, 계약에는 전달되는 날짜와 상품에 대한 사항이 포함이 된다.
   • The Arrow–Debreu 모형의 시간간 (intertemporal equilibrium)균형은 모든 상품의, 모든 날짜에 대한 선물 (forward) 시장을 포함하게 된다.
3. 계약이 상품(commodity)의 전달 여부 자체에 영향을 주는 ‘**상황 (states of nature)’**을 명시하는 경우이다. 이는 현재 상품의 이전, 물리적 특성 뿐만 아니라 위치 및 날짜 뿐만 아니라 전송이 조건부로 발생하는 이벤트도 명시하게 된다.
   • 새로운 commodity 정의를 이용해서, 확률 개념으로부터 theory of [risk] free를 얻을 수 있다.

 

 

2.1. 기본 용어 및 Notation
모형과 논리를 전개하기에 앞서서, 여러가지 정의와 개념들을 정확하게 잡아두고 가는게 엄청 도움이 된다.

(상태 벡터) 경제의 상태는 금융상품의 가치 평가에서 중요한 역할을 한다. 상태는 state, state of the world, state of the economy 모두 성립한다.

• 시장에 s개의 경제 상태 (state)들이 존재한다고 가정하자. 이때 경제 상태는 $\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{S}$로 표기한다.
  • 이때 상태 벡터는 $\boldsymbol{\omega}=\left[\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{S}\right]^{T}$, 상태 공간은 $\Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \cdots, \omega_{S}\right\}$이다.
  • 아주 짧은 시간 구간 $\left(t_{0}, t_{1}\right]$ 에서 한 단위 ‘증가’, ‘감소’, ‘변화 없음’ 중에 하나가 된다.
  • 각 경제 상태들은 상호 배타적이고 (partition), 각 시점에서 무조건 이 상태들 중 하나는 반드시 발생한다.
  • 각 금융상품은 ‘미래 시점’의 경제 상태에 따라 ‘미래 시점에서의 가치’가 결정

 

(state of the world)
complete specification of the values of all relevant variables over the relevant time horizon
모든 시간들에 대한 모든 변수의 값을 완전히 구체화 (ex, 동전 던지기의 ‘앞면/뒷면’)

 

 

(state-contingent claim) (여기 표현 방식을 잘 익혀두어야 함)
a contract whose future payoffs depend on future states of the world
각 상태에 따라서, 각 요소에 맞는 payoff 벡터로 나타낼 수 있어야 한다.

• 예를 들어 **(앞면의 경우 지불, 뒷면의 경우 지불)**과 같이 표현
• 앞면에 베팅하는 것은 ($1, -$1)로 표현할 수 있으며, 뒷면에 베팅하는 것은 (-$1, $1), 앞면과 뒷면에 각각 베팅을 하면 ($0, $0)

⇒ 각 세계의 상태 모두에 대해서

 

(포트폴리오; Portfolio)

• 시장에 N개의 금융 상품들이 존재한다고 가정
• 어떤 투자자가 제n번째 금융 상품에 투자하는 비율을 $\theta_{n}$
• $\theta^{(1)}+\theta^{(2)}+\cdots+\theta^{(N)}=1$
  • 이때, Long position ($\theta^{(n)}>0$) Short position ($\theta^{(n)}<0$)

이제 포트폴리오는 다음과 같이 표현
$$ \boldsymbol{\theta}=\left[\theta^{(1)}, \theta^{(2)}, \cdots, \theta^{(N)}\right]^{T} $$

• ** 포트폴리오는 collection of financial investments이며, 대표적으로 stocks, bonds 이 포트폴리오의 core building blocks으로 있으며, 다양한 자산(assets)으로는 commodities, cash, cash equivalents, real estate, art, and private investments

 

 

(frictionless market)

• 마찰이 없는 시장은, 이론적인 거래 환경을 보여주며, 모든 거래 비용 및 부수 비용이 존재하지 않음

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2.2. 포트폴리오의 미래시점가치 및 가격
(시점) 현재시점 $t_{0}$, 미래시점 $t_1$, 시간구간 $[t_0, t_1]$
(상태) 어떤 금융상품 N개의 의 미래시점 $t_1$에서 가치는 이 시점의 경제상태 $w_s$ 에 따라서 달라짐

• 미래 시점 $t_1$에는 S개의 경제 상태들이 존재
• (현지 시점 ‘가격’) 시점 $t_0$ 에서 제 n번째 금융상품 1단위 가격을 $\red{ a^{(n)}}$ 이라고 하며 Nx1 벡터이다.

$$ a \doteq\left[a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(N)}\right] $$

 

 

(미래 시점 ‘가치’) $t_1$ 시점에서 경제상태 $w_s$ 가 실현된 경우, 제n번째 금융상품의 1단위 가치를 $\blue{d_{s}^{(n)}}$ (미래시점에서의 가치벡터; 지불금액(payoff))이라고 표기한다.
$$ \boldsymbol{d}^{(n)}=\left[d_{1}^{(n)}, d_{2}^{(n)}, \cdots, d_{S}^{(n)}\right]^{T} $$

• 이때, $\boldsymbol{d}^{(n)}$ 을 표본집합이 $\Omega$ 인 확률변수 $\tilde{d}$ 이라고 한다.

미래시점 가치행렬은 SxN 으로 이루어져 있다.

• 행벡터 $d_s$ 는 경제 상태 $w_s$ 에서의 각 경제상태에 따른 미래시점가치를 나타냄
• 열벡터 $d^{(n)}$ 는 제 n번째 금융상품의 미래시점 가치 벡터

$$ D \doteq\left[\begin{array}{cccc}d_{1}^{(1)} & d_{1}^{(2)} & \cdots & d_{1}^{(N)} \\d_{2}^{(1)} & d_{2}^{(2)} & \cdots & d_{2}^{(N)} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\d_{S}^{(1)} & d_{S}^{(2)} & \cdots & d_{S}^{(N)}\end{array}\right] $$

 

 

• (미래 시점 ‘가격’) $t_1$ 시점에서 경제상태 $w_s$ $(\in \Omega)$에서, 이제는 제 n번째 금융 상품의 가격을 $S_{t_{1}}^{(n)}\left(\omega_{s}\right)$ 이라고 하고, 그 시점의 중간 배당액을 $\delta_{t_{1}}^{(n)}\left(\omega_{s}\right)$ 이라고 하면, $d_{s}^{(n)}=S_{t_{1}}^{(n)}\left(\omega_{s}\right)+\delta_{t_{1}}^{(n)}\left(\omega_{s}\right)$ 이 된다.
  • (조건) $d_{s}^{(n)}$ 에 음 (negative)한 미래시점가치가 허용되면, 무한책임성이 생김

이제, 현재 가격과 미래 가치의 확률변수가 정의가 되면, 수익률에 대해서 정의할 수 있다. 현재 가격 a (>0) 와 미래시점가치를 나타내는 확률변수 d 의 쌍 (a,d)를 금융 상품이라고 한다.

• 금융시장이 N개의 금융상품들 $Y^{(1)}=\left(a^{(1)} \cdot d^{(1)}\right), Y^{(2)}=\left(a^{(2)}, d^{(2)}\right) \ldots, \quad Y^{(N)}= \left(a^{(N)}, d^{(N)}\right)$ 이 구성되어 있다고 하자.
• (수익률) ${d \over a}$ 는 총수익률 (R, gross return rate) ${d\over a}-1$ 는 순수익률 (r)

$$ R \doteq \frac{d}{a}, \quad r \doteq \frac{d}{a}-1 $$

 

 

(포트폴리오 ‘보유단위 수’) 제 n번째 금융 상품은 $x^{(n)}$ 단위 만큼 보유하는 포트폴리오 (Nx1)
$$ x \doteq\left[x^{(1)}, x^{(2)}, \cdots, x^{(N)}\right] $$

 

포트폴리오의 미래시점 $t_1$ 에서의 가치벡터는 sx1 행렬이며,
$$ D \cdot x=\left[\begin{array}{llll}\sum_{n=1}^{N} d_{1}^{(n)} x^{(n)} & \sum_{n=1}^{N} d_{2}^{(n)} x^{(n)} & \cdots & \sum_{n=1}^{N} d_{S}^{(n)} x^{(n)}\end{array}\right]' $$

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2.3. 무위험포트폴리오와 무재정조건
이제는 기준점이 되는 ‘위험이 없는 경우’의 포트폴리오에 대해서 이야기하고, 무재정조건 (arbitrage)로 넘어가고자 한다. 여기서 무재정조건은 ‘가격 결정’에 매우 중요한 역할을 한다.

 

(무위험 포트폴리오) 미래시점가치가 상수인 포트폴리오를 무위험 포트폴리오라고 하며, 이것을 만족하는 c가 존재하면 무위험 포트폴리오라고 함
$$ \begin{array}{c}D \boldsymbol{x}=c \mathbf{1}_{S} \\(S \times N) (N \times 1) \Rightarrow (S \times 1)\end{array} $$

 

(무재정 조건)

• 정의 : 재정 (Arbitrage)이란, 동일한 상품이 서로 다른 가격으로 거래되고 있을 때 싼 가격으로 이 상품을 매입한 다음에, 이를 높은 가격으로 매도를 해서 ‘이익을 얻는’ 행위
• Arbitrage is simultaneous purchase and sale of the same or similar asset in different markets in order to profit from tiny differences in the asset’s listed price
  • 금융파생상품의 ‘가치평가’는 재정이라는 개념을 바탕으로 한다.
  • 즉, 현재시점이 가격이 같을 때 (전제조건), / 무위험포트폴리오의 어떤 미래시점에서의 가치가 / 무위험 t-bill의 이 미래시점에서 가치보다 크다면, 이 무위험포트폴리오를 ‘선택’하는 행위가 재정이다.
• 만약 시장에서 상품가격이 합리적으로 형성되고 있다면, 재정기회는 존재하지 않고. 이런 사실이 상품의 “가격 결정”에 중요한 역할을 한다. 또한 효율적 시장과 연관이 되어 있다.
• 제1종 재정기회 (Arbitrage of the first kind)
  • 제 n 번째 금융상품을 1 단위 매입하는 데 필요한 가격 벡터는 $a^{(n)}$
  • 제 n 번째 금융상품을 $x^{(n)}$ 단위로 보유하는 포트폴리오 x는 $a^T x$ 만큼 비용
  이때, 현재 시점 $t_0$에서 가치가 비양인 포트폴리오미래 시점 $t_1$에서 이 포트폴리오의 가치 벡터는 S 차원 열 벡터 $Dx$따라서 제 1 종 재정 기회가 존재하는 것은 다음 식들을 만족하는 포트폴리오 $x$가 존재하는 것

$$ a^{\prime} x \leq 0 \text { and } D x>0 $$

$$ Dx > 0 $$

$$ a'x ≤ 0 $$

• 제2종 재정기회 (Arbitrage of the second kind)

$$ \boldsymbol{a}^{\prime} \boldsymbol{x}<0 \text { and } D \boldsymbol{x} \geq 0 $$

제1종 재정기회가 존재하거나, 또는 제2종 재정기회가 존재하기 위한 필요조건은 다음 식을 만족하는 포트폴리오 x가 존재하는 것이다.
$$ \exists x \quad \exists:\left[\begin{array}{c}-a^{t} \\D\end{array}\right] x>0 $$

 

 

2.4. 일물일가의 법칙; The Law of One Price
동일한 특징과 속성을 지닌 상품은 동일한 가격으로 매매된다는 것을 의미하며, 일물일가의 법칙이 성립하지 않는 시장에서는 재정기회가 존재하게 된다.

$$ LOP \Leftrightarrow D x_{1}=D x_{2} \Rightarrow a^{\prime} x_{1}=a^{\prime} x_{2} $$

• 시장에서 일물일가법칙이 성립하는 것은, 재정기회가 존재하지 않는다는 것보다 **‘가격결정’**에 대해서 조금 더 약한 제약이라고 할 수 있다. (증명 과정은 복잡해서 생략했다 !)

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한계대체율 (Marginal Rate of Substitution; MRS)

이제부터는 재정 기회가 존재하지 않는다고 전제하고 ‘가격결정’과 관련하여 시장 분석을 할 때, 중심의 역할을 하는 것은 ‘한계대체율 (Marginal Rate of Substitution; MRS)’이다. 한계대체율이란, 현재소비와 미래 소비의 교환을 나타내는데, 재정기회가 존재하지 않는다는 말은 MRS 에 매우 강한 제약을 부과하는 것이기 때문이다.
(효용 함수; Utility Function)
(무차별곡선; Indefference curve)